Matematyka

Autorzy:Joanna Czarnowska, Jolanta Wesołowska, Wojciech Babiański, Lech Chańko

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Uzasadnij, że dla dowolnych 4.38 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`"założenia:"\ \ \ a,\ b in RR,\ \ \ \ a<b` 

`"teza:"\ \ \ a<(a+b)/2<b` 

`"dowód:"` 

Podwójna nierówność z tezy może zostać zapisana jako układ dwóch nierówności pojedynczych:

`{(a<(a+b)/2), ((a+b)/2<b):}` 

 

Zajmijmy się najpierw pierwszą nierównością. Zapiszemy ją ze znakiem zapytania i sprawdzimy, czy zachodzi.

`a#<^?(a+b)/2\ \ \ \ \ |*2` 

`2a#<^?a+b\ \ \ |-a`  

`a#<^?b`  

Otrzymaliśmy nierówność z założeń, więc nierówność z tezy jest prawdziwa, ponieważ możemy przeprowadzić rozumowanie z dołu do góry (zaczynając od nierówności danej w założeniach):

`a<b\ \ \ \ |+a` 

`2a<a+b\ \ \ \ |:2` 

`a<(a+b)/2` 

 

 

Teraz ten sam sposób rozumowania przeprowadzamy dla drugiej nierówności.

`(a+b)/2#<^?b\ \ \ \ |*2`  

`a+b#<^?2b\ \ \ \ |-b`  

`a#<^?b` 

Otrzymaliśmy nierówność z założeń, więc nierówność z tezy jest prawdziwa, ponieważ możemy przeprowadzić rozumowanie z dołu do góry (zaczynając od nierówności danej w założeniach):

`a<b\ \ \ \ |+b` 

`a+b<2b\ \ \ \ |:2` 

`(a+b)/2<b` 

 

Obie nierówności są więc prawdziwe, co kończy dowód.