Prosta PR przechodzi przez środki boków AB i CD i jest  równoległa do prostych BC i AD. Wyznaczmy jej równanie:

 

$PR:f\left(x\right)=ax+b$  

$\{\begin{array}{l}f\left(2\right)=0\\ f\left(4\right)=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2a+b=0\\ 4a+b=4\end{array}$  

$\underline{\underline{-}}$  

$-2a=-4$  

$a=2$  

stąd:

$4+b=0$  

$b=-4$  

a więc:

$f\left(x\right)=2x-4$  

 

Prosta równoległa do prostej PR, przechodząca przez punkt Q jest równa prostej BC.

$BC:g\left(x\right)=2x+c$  

Podstawmy współrzędne punktu Q:

$g\left(7\right)=4$  

$2\cdot 7+c=4$  

$14+c=4$  

$c=-10$  

 

$g\left(x\right)=2x-10$   

 

A więc punkty B i C mają współrzędne:

$B=\left(x_B,2x_B-10\right),C=\left(x_C,2x_C-10\right)$

 

Wiemy, że:

$Q=S_{BC}$  

$\left(7,4\right)=\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{2x_B-10+2x_C-10}{2}\right)$   

$\{\left(\frac{x_B+x_C}{2}=7\right),(\left(x_B+x_C-10=4\right)$

$\{\begin{array}{l}{x}_B+x_C=14\\ x_B+x_C=14\end{array}$  

czyli

$x_C=14-x_B$   

 

Wiemy też , ze:

$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{RC}$  

$\left[x_B-x_P,y_B-y_P\right]=\left[x_C-x_R,y_C-y_R\right]$  

$\left[x_B-2,2x_B-10\right]=\left[x_C-4,2x_C-10-4\right]$  

$\left[x_B-2,2x_B-10\right]=\left[14-x_B-4,28-2x_B-14\right]$  

$\left[x_B-2,2x_B-10\right]=\left[10-x_B,14-2x_B\right]$  

$\{\begin{array}{l}{x}_B-2=10-x_B\\ 2x_B-10=14-2x_B\end{array}$ $\{\begin{array}{l}{x}_B-2=10-x_B\\ 2x_B-10=14-2x_B\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x_B=12\\ 4x_B=24\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_B=6\\ x_B=6\end{array}$  

A więc:

$x_C=8$  

 

$B=\left(6,2\right),C=\left(8,6\right)$   

 

$P=S_{AB}$  

$\left(2,0\right)=\left(\frac{x_A+6}{2},\frac{y_A+2}{2}\right)$  

$\{\begin{array}{l}\frac{x_A+6}{2}=2\\ \frac{y_A+2}{2}=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_A+6=4\\ y_A+2=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_A=-2\\ y_A=-2\end{array}$  

$A=\left(-2,-2\right)$  

 

$R=S_{CD}$  

$\left(4,4\right)=\left(\frac{8+x_D}{2},\frac{6+y_D}{2}\right)$  

$\{\begin{array}{l}\frac{x_D+8}{2}=4\\ \frac{y_D+6}{2}=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_D+8=8\\ y_D+6=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_D=0\\ y_D=2\end{array}$  

$D=\left(0,2\right)$  

 

$b)Q=S_{BC}$  

$\left(3,-1\right)=\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$  

$\{\begin{array}{l}\frac{x_B+x_C}{2}=3\\ \frac{y_B+y_C}{2}=-1\end{array}$  

 

$\overrightarrow{BC}=2\cdot \overrightarrow{BQ}$  

$\left[2,4\right]=2\cdot \left[3-x_B,-1-y_B\right]$  

$\left[2,4\right]=\left[6-2x_B,-2-2y_B\right]$  

$\{\begin{array}{l}6-2x_B=2\\ -2-2y_B=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2x_B=-4\\ -2y_B=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_B=2\\ y_B=-3\end{array}$  

$B=\left(2,-3\right)$  

 

A więc:

$\overrightarrow{BA}=\left[x_A-x_B,y_A-y_B\right]$  

$\left[-5,5\right]=\left[x_A-2,y_A+3\right]$  

$\{\begin{array}{l}{x}_A-2=-5\\ y_A+3=5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_A=-3\\ y_A=2\end{array}$  

$A=\left(-3,2\right)$  

 

$\overrightarrow{BC}=\left[2,4\right]$  

$\left[x_C-x_B,y_C-y_B\right]=\left[2,4\right]$

$\left[x_C-2,y_C+3\right]=\left[2,4\right]$   

$\{\begin{array}{l}{x}_C-2=2\\ y_C+3=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_C=4\\ y_C=1\end{array}$  

$C=\left(4,1\right)$  

 

Skoro czworokąt ABCD jest równoległobokiem to:

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$  

$\left[2,4\right]=\left[x_D-x_A,y_D-y_A\right]$  

$\left[2,4\right]=\left[x_D+3,y_D-2\right]$  

$\{\begin{array}{l}{x}_D+3=2\\ y_D-2=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_D=-1\\ y_D=6\end{array}$  

$D=\left(-1,6\right)$  

 

$c)Q=S_{BC}$  

$\left(7,2\right)=\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$  

$\{\begin{array}{l}\frac{x_B+x_C}{2}=7\\ \frac{y_B+y_C}{2}=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_B+x_C=14\\ y_B+y_C=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_B=14-x_C\\ y_B=4-y_C\end{array}$  

 

$R=S_{CD}$   

$\left(6,4\right)=\left(\frac{x_C+x_D}{2},\frac{y_C+y_D}{2}\right)$  

$\{\begin{array}{l}\frac{x_C+x_D}{2}=6\\ \frac{y_C+y_D}{2}=4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_C+x_D=12\\ y_C+y_D=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_D=12-x_C\\ y_D=8-y_C\end{array}$  

 

Skoro Q i R są środkami boków BC i CD to znaczy, że odcinek QR jest o połowę mniejszy od odcinka BD, zatem:

$\overrightarrow{BD}=2\cdot \overrightarrow{QR}$  

$\overrightarrow{BD}=2\cdot \left[6-7,4-2\right]$  

$\overrightarrow{BD}=\left[-2,4\right]$  

 

Dodatkowo:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$   

$\left[8,2\right]+\left[-2,4\right]=\overrightarrow{AD}$  

$\overrightarrow{AD}=\left[6,6\right]$  

 

Żeby wyliczyć wszystkie współrzędne potrzebujemy współrzędnych punktu C.

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$  

$\left[6,6\right]=\left[x_C-x_B,y_C-y_B\right]$  

$\left[6,6\right]=\left[x_C-\left(14-x_C\right),y_C-\left(4-y_C\right)\right]$  

$\left[6,6\right]=\left[x_C-14+x_C,y_C-4+y_C\right]$  

$\left[6,6\right]=\left[2x_C-14\right],2y_C-4]$  

Stąd:

$\{\begin{array}{l}2x_C-14=6\\ 2y_C-4=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x_C=20\\ 2y_C=10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_C=10\\ y_C=5\end{array}$  

 

$C=\left(10,5\right)$  

 

Punkt B:

$\{\begin{array}{l}{x}_B=14-x_C\\ y_B=4-y_C\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_B=4\\ y_B=-1\end{array}$  

 

Punkt D:

$\{\begin{array}{l}{x}_D=12-x_C\\ y_D=8-y_C\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_D=2\\ y_D=3\end{array}$  

 

Punkt A:

$\overrightarrow{AD}=\left[6,6\right]$  

$\left[x_D-x_A,y_D-y_A\right]=\left[6,6\right]$  

$\left[2-x_A,3-y_A\right]=\left[6,6\right]$  

$\{\begin{array}{l}2-x_A=6\\ 3-y_A=6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x_A=4\\ -y_A=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_A=-4\\ y_A=-3\end{array}$