PRZYPOMNIENIE:

Postać kanoniczna  $y=a{\left(x-p\right)}^2+q$  

Współrzędne wierzchołka paraboli:

$W=\left(p,q\right)=\left(-\frac{b}{2a},\frac{-\Delta }{4a}\right)$  

Punkty przecięcia z osią OX to miejsca zerowe funkcji.

---

a)  $y=x^2-0,01$  

$a=1,b=0,c=-0,01$  

$\Delta =0^2-4\cdot 1\cdot \left(-0,01\right)=0,04$  

$\sqrt{\Delta }=0,2$  

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-0-0,2}{2\cdot 1}=\frac{-0,2}{2}=-0,1$  

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-0+0,2}{2\cdot 1}=\frac{0,2}{2}=0,1$  

$p=\frac{-0}{2}\cdot 1=0$  

$q=\frac{-0,04}{4\cdot 1}=\frac{0,04}{4}=\frac{4}{400}=\frac{1}{100}$  

$W=\left(0,\frac{1}{100}\right)$  

---

b)  $y=4x^2+5$  

$a=4,b=0,c=5$  

$\Delta =0^2-4\cdot 4\cdot 5=-80<0$  

Brak miejsc zerowych.

$p=\frac{-0}{2\cdot 4}=0$  

$q=\frac{-\left(-80\right)}{4\cdot 4}=\frac{80}{16}=5$  

$W=\left(0,5\right)$  

---

c)  $y={\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2$  

$W=\left(\frac{1}{4},0\right)$  

Obliczmy miejsce zerowe.

${\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2=0$  

$x-\frac{1}{4}=0\mid +\frac{1}{4}$  

$x=\frac{1}{4}$  

---

d)  $y={\left(x+3\right)}^2-4$  

$W=\left(-3,-4\right)$  

Obliczmy miejsce zerowe.

${\left(x+3\right)}^2-4=0\mid +4$  

${\left(x+3\right)}^2=4$  

${\left(x+3\right)}^2=2^2$  

$\left|x+3\right|=2$  

$x+3=2\text{lub}x+3=-2$  

$x=-1\text{lub}x=-5$  

---

e)  $y=-\frac{2}{3}{\left(x-1\right)}^2+2$  

$W=\left(1,2\right)$  

Obliczmy miejsce zerowe.

$-\frac{2}{3}{\left(x-1\right)}^2+2=0\mid -2$  

$-\frac{2}{3}{\left(x-1\right)}^2=-2\mid :\left(-\frac{2}{3}\right)$  

${\left(x-1\right)}^2=-2:\left(-\frac{2}{3}\right)$  

${\left(x-1\right)}^2=-2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)$  

${\left(x-1\right)}^2=3$   

$x^2-2x+1=3\mid -3$  

$x^2-2x-2=0$  

$a=1,b=-2,c=-2$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)$  

$\Delta =4+8$  

$\Delta =12$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$  

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-2\right)-2\sqrt{3}}{2\cdot 1}=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt{3}$  

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-\left(-2\right)+2\sqrt{3}}{2\cdot 1}=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}$  

---

f)  $y=x^2+8x+21$  

$a=1,b=8,c=21$  

$\Delta =8^2-4\cdot 1\cdot 21$  

$\Delta =64-84$  

$\Delta =-20<0$  

brak miejsc zerowych.

$p=\frac{-8}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4$  

$q=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-\left(-20\right)}{4\cdot 1}=\frac{20}{4}=5$  

$W=\left(-4,5\right)$