$a)$  

Środek okręgu wpisanego w kwadrat to punkt przecięcia się przekątnych kwadratu.

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie, zatem wystarczy wyznaczyć współrzędne środka

jednej z przekątnych. 

$A=\left(-3;0\right)$  

$B=\left(1;-2\right)$  

$C=\left(3;2\right)$  

$D=\left(-1;4\right)$  

$S_{AC}-\text{sˊrodek odcinka AC}$  

Środek odcinka AC jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego w kwadrat.

$S_{AC}=\left(\frac{-3+3}{2};\frac{0+2}{2}\right)=\left(0;1\right)$  

Promień okręgu wpisanego jest równy połowie długości boku kwadratu.

$r=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(1+3\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}=\sqrt{5}$  

Równanie okręgu ma postać:

$\underline{x^2+{\left(y-1\right)}^2=5}$    

 

$b)$  

Środek okręgu opisanego na kwadracie jest również środkiem okręgu wpisanego w kwadrat.

$S=\left(0;1\right)$  

Promień okręgu opisanego jest równy połowie długości przekątnej kwadratu.

$r=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{{\left(3+3\right)}^2+2^2}=\frac{1}{2}\sqrt{40}=\sqrt{10}$  

Równanie okręgu ma postać:

$\underline{x^2+{\left(y-1\right)}^2=10}$