Matematyka

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony (Podręcznik, Nowa Era)

Przeprowadzając rozumowanie analogiczne do dowodu nierówności 4.6 gwiazdek na podstawie 10 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Przeprowadzając rozumowanie analogiczne do dowodu nierówności

7
 Zadanie

8
 Zadanie

9
 Zadanie
10
 Zadanie
11
 Zadanie
12
 Zadanie
13
 Zadanie

`a)`

Przypuścmy, że √3 jest liczbą niewymierną. 

Wtedy istnieją liczby całkowite p i r takie, że: 

`p,\ r in C,\ \ \ rne0\ \ \ o raz\ \ \ sqrt3=p/r`

 

`sqrt3=p/r\ \ \ \ |^2`

`3=p^2/r^2`

`3r^2=p^2`

 

Ta równość nie może zachodzić, ponieważ oznaczałaby ona, że po lewej stronie czynnik 3 występuje nieparzystą liczbę razy, a po prawej występuje parzystą liczbę razy, co jest sprzecznością. Oznacza to, że √3 jest liczbą niewymierną.

 

 

 

 

`b)`

Przypuścmy, że √5 jest liczbą niewymierną. 

 

Wtedy istnieją liczby całkowite p i r takie, że:

`p,\ r in C,\ \ \ r ne0,\ \ \ o raz\ \ \ sqrt5=p/r`

 

`sqrt5=p/r\ \ \ \ |^2`

`5=p^2/r^2`

`5r^2=p^2`

 

Ta równość nie może zachodzić, ponieważ oznaczałaby ona, że po lewej stronie czynnik 5 występuje nieparzystą liczbę razy, a po prawej występuje parzystą liczbę razy, co jest sprzecznością. Oznacza to, że √5 jest liczbą niewymierną.

 

 

 

 

`c)`

Przypuścmy, że √6 jest liczbą niewymierną. 

 

Wtedy istnieją liczby całkowite p i r takie, że:

 

`p,\ rinC,\ \ \ rne0\ \ \ o raz\ \ \ sqrt6=p/r`

 

`sqrt6=p/r\ \ \ \ |^2`

`6=p^2/r^2`

`6r^2=p^2`

`2*3r^2=p^2`

Ta równość nie może zachodzić, ponieważ oznaczałaby ona, że po lewej stronie czynniki 2 i 3 występują nieparzystą liczbę razy, a po prawej występują parzystą liczbę razy, co jest sprzecznością. Oznacza to, że √6 jest liczbą niewymierną.

 

 

DYSKUSJA
user profile image
Sabrina

27 września 2017
Dzięki za pomoc!
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Odejmowanie ułamków dziesiętnych

Odejmowanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym jest bardzo podobne do odejmowania liczb naturalnych:

  1. Ułamki podpisujemy tak, aby przecinek znajdował się pod przecinkiem ( cyfra jedności pod cyfrą jedności, cyfra dziesiątek pod cyfrą dziesiątek, cyfra setek pod cyfrą setek itd.);
  2. W miejsce brakujących cyfr po przecinku można dopisać zera;
  3. Ułamki odejmujemy tak jak liczby naturalne, czyli działania prowadzimy od kolumny prawej do lewej i wykonujemy je tak, jak gdyby nie było przecina;
  4. W uzyskanym wyniku stawiamy przecinek tak, aby znajdował się pod napisanymi już przecinkami.

Przykład:

  • $$ 3,41-1,54=? $$
    odejmowanie-ulamkow

    $$ 3,41-1,54=1,87 $$  

Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Jeżeli ułamek zwykły posiada w mianowniku 10, 100, 1000, … to zamieniamy go na ułamek dziesiętny w następujący sposób: między cyframi liczby znajdującej się w liczniku danego ułamka zwykłego stawiamy przecinek tak, aby po przecinku było tyle cyfr, ile zer w mianowniku. Gdyby zabrakło cyfr przy stawianiu przecinka, to należy dopisać brakującą ilość zer.

Przykłady:

  • $$3/{10}= 0,3$$ ← przepisujemy liczbę 3 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${64}/{100}= 0,64$$ ← przepisujemy liczbę 64 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${482}/{1000} = 0,482$$ ← przepisujemy liczbę 482 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były trzy cyfry (bo w mianowniku mamy trzy zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${45}/{10}= 4,5$$ ← przepisujemy liczbę 45 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer,

  • $${2374}/{100}= 23,74$$ ← przepisujemy liczbę 2374 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer.

  Uwaga

Istnieją ułamki zwykłe, które możemy rozszerzyć lub skrócić tak, aby otrzymać w mianowniku 10, 100, 1000,... Jednak nie wszystkie ułamki można zamienić na równe im ułamki dziesiętne, to znaczy tak rozszerzyć lub skrócić, aby otrzymać ułamek o mianowniku 10, 100, 1000 itd.

Przykłady ułamków, które dają się rozszerzyć lub skrócić, tak aby otrzymać ułamek dziesiętny:
$$1/2= {1•5}/{2•5}=5/{10}= 0,5$$
$$3/{20}= {3•5}/{20•5}= {15}/{100}= 0,15$$
$${80}/{400}= {80÷4}/{400÷4}={20}/{100}= 2/{10}= 0,2$$

Nie można natomiast zamienić na ułamek dziesiętny ułamka $$1/3$$. Ułamka tego nie można skrócić ani rozszerzyć tak, aby w mianowniku pojawiła się liczba 10, 100, 1000 itd.

Zobacz także
Udostępnij zadanie