Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2014

Rozwiąż nierówność 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Oszacujmy podaną liczbę:

`-sqrt(27-10sqrt2)~~-sqrt(27-10*1,4)=-sqrt(27-14)~~-sqrt13=-sqrt(12,96)=-3,6` 

 

`a)`   

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-4, a druga zeruje się dla x=3. Mamy więc trzy przypadki do rozpatrzenia. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -4)` 

`\ \ \ |x+4|<9-|x-3|` 

`\ \ \ -(x+4)<9+(x-3)` 

`\ \ \ -x-4<9+x-3` 

`\ \ \ -x-4<6+x\ \ \ \ |-x` 

`\ \ \ -2x-4<6\ \ \ |+4` 

`\ \ \ -2x<10\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ x> -5` 

`(x> -5\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -4))\ \ \ =>\ \ \ ul( x in (-5;\ -4))` 

 

 

`2)\ x in <<-4;\ 3)` 

`\ \ \ |x+4|<9-|x-3|` 

`\ \ \ x+4<9+(x-3)` 

`\ \ \ x+4<9+x-3` 

`\ \ \ x+4<x+6\ \ \ |-x` 

`\ \ \ 4<6` 

Powyższa nierówność jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-4;\ 3))` 

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)` 

`\ \ \ |x+4|<9-|x-3|` 

`\ \ \ x+4<9-(x-3)` 

`\ \ \ x+4<9-x+3` 

`\ \ \ x+4<12-x\ \ \ |+x` 

`\ \ \ 2x+4<12\ \ \ |-4` 

`\ \ \ 2x<8\ \ \ |:2` 

`\ \ \ x<4` 

`(x<4\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<3;\ 4))` 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-5;\ 4)))` 

 

Podana liczba spełnia tę nierówność. 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

 

`b)` 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=4, a druga zeruje się dla x=-3. Mamy więc trzy przypadki do rozpatrzenia. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -3)` 

`\ \ \ |x-4|<=9-|x+3|` 

`\ \ \ -(x-4)<=9+(x+3)` 

`\ \ \ -x+4<=9+x+3` 

`\ \ \ -x+4<=12+x\ \ \ |-x` 

`\ \ \ -2x+4<=12\ \ \ |-4` 

`\ \ \ -2x<=8\ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ x>= -4` 

`(x>= -4\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -3))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-4;\ -3))`  

 

 

`2)\ x in <<-3;\ 4)` 

`\ \ \ |x-4|<=9-|x+3|` 

`\ \ \ -(x-4)<=9-(x+3)` 

`\ \ \ -x+4<=9-x-3` 

`\ \ \ -x+4<=6-x\ \ \ |+x` 

`\ \ \ 4<=6` 

Powyższa nierówność jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-3;\ 4))` 

 

 

`3)\ x in <<4;\ +infty)` 

`\ \ \ |x-4|<=9-|x+3|` 

`\ \ \ x-4<=9-(x+3)` 

`\ \ \ x-4<=9-x-3` 

`\ \ \ x-4<=6-x\ \ \ |+x` 

`\ \ \ 2x-4<=6\ \ \ |+4` 

`\ \ \ 2x<=10\ \ \ |:2` 

`\ \ \ x<=5` 

`(x<=5\ \ \ "i"\ \ \ x in <<4;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<4;\ 5>>)` 

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<-4;\ 5>>))`  

 

Podana liczba spełnia tę nierówność. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`c)` 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-3, a druga zeruje się dla x=0. Mamy więc trzy przypadki do rozpatrzenia. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -3)` 

`\ \ \ |x+3|+1>|x|` 

`\ \ \ -(x+3)+1> -x` 

`\ \ \ -x-3+1> -x` 

`\ \ \ -x-2> -x\ \ \ |+x` 

`\ \ \ -2> 0` 

Powyższa nierówność jest sprzeczna, więc w pierwszym przedziale wyjściowa nierówność nie ma rozwiązań.

 

`2)\ x in <<-3;\ 0)` 

`\ \ \ |x+3|+1>|x|` 

`\ \ \ x+3+1> -x` 

`\ \ \ x+4> -x\ \ \ |+x` 

`\ \ \ 2x+4>0\ \ \ |-4` 

`\ \ \ 2x> -4\ \ \|:2` 

`\ \ \ x> -2` 

`(x> -2 \ \ \ "i"\ \ \ x in <<-3;\ 0))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-2;\ 0))` 

 

`3)\ x in <<0;\ +infty)` 

`\ \ \ |x+3|+1>|x|` 

`\ \ \ x+3+1>x` 

`\ \ \ x+4>x\ \ \ |-x` 

`\ \ \ 4>0` 

Powyższa nierówność jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z trzeciego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-2;\ +infty)))` 

 

Podana liczba nie spełnia tej nierówności. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

`d)` 

`|3-6x|-11<|4x-2|` 

`|-6(x-1/2)|-11<|4(x-1/2)|` 

`|-6|*|x-1/2|-11<|4|*|x-1/2|` 

`6|x-1/2|-11<4|x-1/2|\ \ \ |-4|x-1/2|` 

`2|x-1/2|-11<0 \ \ \ |+11` 

`2|x-1/2|<11\ \ \ |:2` 

`|x-1/2|<11/2` 

`-11/2<x-1/2<11/2\ \ \ |+1/2` 

`-10/2<x<12/2` 

`-5<x<6` 

`ul(ul(x in (-5;\ 6))` 

 

Podana liczba spełnia tę nierówność.