Matematyka

Rozwiąż nierówność 4.5 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Oszacujmy podaną liczbę:

`-sqrt(27-10sqrt2)~~-sqrt(27-10*1,4)=-sqrt(27-14)~~-sqrt13=-sqrt(12,96)=-3,6`

 

`a)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-4, a druga zeruje się dla x=3. Mamy więc trzy przypadki do rozpatrzenia. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -4)`

`\ \ \ |x+4|<9-|x-3|`

`\ \ \ -(x+4)<9+(x-3)`

`\ \ \ -x-4<9+x-3`

`\ \ \ -x-4<6+x\ \ \ \ |-x`

`\ \ \ -2x-4<6\ \ \ |+4`

`\ \ \ -2x<10\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x> -5`

`(x> -5\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -4))\ \ \ =>\ \ \ ul( x in (-5;\ -4))`

 

 

`2)\ x in <<-4;\ 3)`

`\ \ \ |x+4|<9-|x-3|`

`\ \ \ x+4<9+(x-3)`

`\ \ \ x+4<9+x-3`

`\ \ \ x+4<x+6\ \ \ |-x`

`\ \ \ 4<6`

Powyższa nierówność jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-4;\ 3))`

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |x+4|<9-|x-3|`

`\ \ \ x+4<9-(x-3)`

`\ \ \ x+4<9-x+3`

`\ \ \ x+4<12-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 2x+4<12\ \ \ |-4`

`\ \ \ 2x<8\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<4`

`(x<4\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<3;\ 4))`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-5;\ 4)))`

 

Podana liczba spełnia tę nierówność. 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

 

`b)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=4, a druga zeruje się dla x=-3. Mamy więc trzy przypadki do rozpatrzenia. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -3)`

`\ \ \ |x-4|<=9-|x+3|`

`\ \ \ -(x-4)<=9+(x+3)`

`\ \ \ -x+4<=9+x+3`

`\ \ \ -x+4<=12+x\ \ \ |-x`

`\ \ \ -2x+4<=12\ \ \ |-4`

`\ \ \ -2x<=8\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>= -4`

`(x>= -4\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -3))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-4;\ -3))`

 

 

`2)\ x in <<-3;\ 4)`

`\ \ \ |x-4|<=9-|x+3|`

`\ \ \ -(x-4)<=9-(x+3)`

`\ \ \ -x+4<=9-x-3`

`\ \ \ -x+4<=6-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 4<=6`

Powyższa nierówność jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-3;\ 4))`

 

 

`3)\ x in <<4;\ +infty)`

`\ \ \ |x-4|<=9-|x+3|`

`\ \ \ x-4<=9-(x+3)`

`\ \ \ x-4<=9-x-3`

`\ \ \ x-4<=6-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 2x-4<=6\ \ \ |+4`

`\ \ \ 2x<=10\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<=5`

`(x<=5\ \ \ "i"\ \ \ x in <<4;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<4;\ 5>>)`

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<-4;\ 5>>))`

 

Podana liczba spełnia tę nierówność. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`c)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-3, a druga zeruje się dla x=0. Mamy więc trzy przypadki do rozpatrzenia. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -3)`

`\ \ \ |x+3|+1>|x|`

`\ \ \ -(x+3)+1> -x`

`\ \ \ -x-3+1> -x`

`\ \ \ -x-2> -x\ \ \ |+x`

`\ \ \ -2> 0`

Powyższa nierówność jest sprzeczna, więc w pierwszym przedziale wyjściowa nierówność nie ma rozwiązań.

 

`2)\ x in <<-3;\ 0)`

`\ \ \ |x+3|+1>|x|`

`\ \ \ x+3+1> -x`

`\ \ \ x+4> -x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 2x+4>0\ \ \ |-4`

`\ \ \ 2x> -4\ \ \|:2`

`\ \ \ x> -2`

`(x> -2 \ \ \ "i"\ \ \ x in <<-3;\ 0))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-2;\ 0))`

 

`3)\ x in <<0;\ +infty)`

`\ \ \ |x+3|+1>|x|`

`\ \ \ x+3+1>x`

`\ \ \ x+4>x\ \ \ |-x`

`\ \ \ 4>0`

Powyższa nierówność jest prawdziwa zawsze, więc wszystkie liczby z trzeciego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-2;\ +infty)))`

 

Podana liczba nie spełnia tej nierówności. 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

`d)`

`|3-6x|-11<|4x-2|`

`|-6(x-1/2)|-11<|4(x-1/2)|`

`|-6|*|x-1/2|-11<|4|*|x-1/2|`

`6|x-1/2|-11<4|x-1/2|\ \ \ |-4|x-1/2|`

`2|x-1/2|-11<0 \ \ \ |+11`

`2|x-1/2|<11\ \ \ |:2`

`|x-1/2|<11/2`

`-11/2<x-1/2<11/2\ \ \ |+1/2`

`-10/2<x<12/2`

`-5<x<6`

`ul(ul(x in (-5;\ 6))`

 

Podana liczba spełnia tę nierówność. 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Dorota Ponczek
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Wielokrotności

Wielokrotność liczby to dana liczba pomnożona przez 1,2,3,4,5 itd.
Inaczej mówiąc, wielokrotność liczby n to każda liczba postaci 1•n, 2•n, 3•n, 4•n, 5•n ...

Przykłady:

  • wielokrotnością liczby 4 jest:
    • 4, bo $$4=1•4$$
    • 8, bo $$8=2•4$$
    • 12, bo $$12=3•4$$
    • 16, bo $$16=4•4$$
    • 20, bo $$20=5•4$$
       
  • wielokrotnością liczby 8 jest:
    • 8, bo $$8=1•8$$
    • 16, bo $$16=2•8$$
    • 24, bo $$24=3•8$$
    • 32, bo $$32=4•8$$
    • 40, bo $$40=5•8$$
Dodawanie ułamków zwykłych
  1. Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach – dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$4/7+6/7={10}/7=1 3/7$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku dodania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości (jak w przykładzie powyższym).

    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę (jak w przykładzie poniżej).

  2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy dodawanie.

    Przykład:

    • $$3/10+ 1/5=3/{10}+ {1•2}/{5•2}=3/{10}+ 2/{10}=5/{10}={5÷5}/{10÷5}=1/2$$
       
  3. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      $$2 1/3+ 1 1/3= {2•3+1}/3+{1•3+1}/3=7/3+4/3={11}/3=3 2/3$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/3= 2 + 1/3+ 1 + 1/3= 3 + 2/3= 3 2/3$$
       
  4. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy dodawanie.

      $$2 1/3+ 1 1/2= {2•3+1}/3+{1•2+1}/2=7/3+3/2={7•2}/{3•2}+{3•3}/{2•3}={14}/6 + 9/6={23}/6=3 5/6$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/2= 2 + 1/3+ 1 + 1/2= 3 + 1/3+ 1/2= 3 + {1•2}/{3•2}+ {1•3}/{2•3}= 3 + 2/6+ 3/6= 3 + 5/6= 3 5/6$$
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie