W zadaniu korzystamy ze wzorów na:

- długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym:

$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

- długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny:

$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

 

Przyjmijmy, że bok trójkąta równobocznego ma długość a.

Wówczas pole kola opisanego na tym trójkącie wynosi:

$P_{ko}=\pi \cdot R^2=\pi \cdot {\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\pi \cdot \frac{{\sout{3}}^1{a}^2}{{\sout{9}}^3}=\frac{1}{3}\pi a^2\left[{\text{cm}}^2\right]$ $P_{ko}=\pi \cdot R^2=\pi \cdot {\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\pi \cdot \frac{{\sout{3}}^1{a}^2}{{\sout{9}}^3}=\frac{1}{3}\pi a^2\left[{\text{cm}}^2\right]$

Obliczam pole koła wpisanego w ten trójkąt:

$P_{kw}=\pi \cdot r^2=\pi \cdot {\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2=\pi \cdot \frac{{\sout{3}}^1{a}^2}{{\sout{36}}^{12}}=\frac{1}{12}\pi a^2\left[{\text{cm}}^2\right]$

 

Wyznaczamy różnicę pomiędzy polem koła opisanego na trójkącie równobocznym, a polem koła wpisanego w ten trójkąt:

$P_{ko}-P_{kw}=\frac{1}{3}\pi a^2-\frac{1}{12}\pi a^2=\frac{4}{12}\pi a^2-\frac{1}{12}\pi a^2=\frac{3}{12}\pi a^2=\frac{1}{4}\pi a^2\left[{\text{cm}}^2\right]$

Z treści zadania wiemy, że różnica pomiędzy pole koła opisanego, a pole koła wpisanego wynosi 9π cm².

Zapisujemy równość:

$9\pi =\frac{1}{4}\pi a^2\mid :\pi$

$9=\frac{1}{4}{a}^2\mid \cdot 4$

$36=a^2$

$a=\sqrt{36}=6\left[\text{cm}\right]$

 

Odp: Długość boku trójkąta równobocznego spełniające zadane warunki wynosi 6 cm.