Matematyka

Matematyka na czasie! 2 (Podręcznik, Nowa Era)

Jakie liczby można wpisać w miejsce 4.86 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

 

rownanie matematyczne

Dla układu zapisanego w powyższy sposób można łatwo określić liczbę rozwiązań.

  • Jeśli stosunek współczynników przy x jest równy stosunkowi współczynników przy y i jest równy stosunkowi wyrazów wolnych, to układ jest nieoznaczony.
  • Jeśli stosunek współczynników przy x jest równy stosunkowi współczynników przy y, a stosunek wyrazów wolnych jest od nich różny, to układ jest sprzeczny. 
  • Jeśli stosunek współczynników przy x jest różny od stosunku współczynników przy y, to układ jest oznaczony.

rownanie matematyczne

Jeśli stosunek współczynników przy x jest równy stosunkowi współczynników przy y i jest równy stosunkowi wyrazów wolnych, to układ jest nieoznaczony.

`6/2=6/(-9/(-3))=15/square` 

`3=3=15/5` 

Układ jest nieoznaczony, jeśli w puste miejsce wpiszemy liczbę 5.

`{(6x-9y=15),(2x-3y=5):}` 

Jeśli stosunek współczynników przy x jest równy stosunkowi współczynników przy y, a stosunek wyrazów wolnych jest od nich różny, to układ jest sprzeczny. 

`6/2=6/(-9/(-3))!=15/square` 

Układ jest sprzeczny, jeśli w puste miejsce wpiszemy dowolną liczbę za wyjątkiem liczby 5.

Przykładowe sprzeczne układy równań:

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Układ jest nieoznaczony, jeśli w puste miejsce wpiszemy liczbę -2.

Ponieważ niezależnie od liczby wpisanej w pustą lukę stosunek wyrazów wolnych jest równy stosunkowi współczynników przy x, ten układ równań nie może być sprzeczny.

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Układ jest nieoznaczony, jeśli uzupełnimy puste miejsca następująco:

rownanie matematyczne 

W tym wypadku stosunek współczynników przy x jest równy stosunkowi współczynników przy y i jest równy stosunkowi wyrazów wolnych. Aby uzyskać układ sprzeczny, stosunek wyrazów wolnych musi być różny niż stosunek współczynników przy x i współczynników przy y. 

rownanie matematyczne 

Taka zależność zajdzie, gdy w drugą lukę wpiszemy dowolną liczbę za wyjątkiem liczby 5. Pierwszą lukę uzupełniamy, podobnie jak dla układu nieoznaczonego liczbą 1/2, tak aby stosunek współczynników przy x był równy stosunkowi współczynników przy y.

rownanie matematyczne 

Przykładowe sprzeczne układy równań:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

Odpowiedź:

 

 

DYSKUSJA
user avatar
sonia

17 lutego 2018
dziena
Informacje
Autorzy: Karolina Wej, Wojciech Babiański, Ewa Szmytkiewicz, Jerzy Janowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile

Monika

21908

Nauczyciel

Wiedza
Cechy podzielności liczb

Cechy podzielności liczb ułatwiają znalezienie dzielników, zwłaszcza dużych liczb.

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.


Cechy podzielności:

  1. Podzielność liczby przez 2

    Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8.

    Przykład:

    • 1 896 319 128 → liczba jest podzielna przez 2, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 8.
       
  2. Podzielność liczby przez 3

    Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3.

    Przykład:

    • 7 981 272 → liczba jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr (7+9+8+1+2+7+2=36) jest liczbą podzielną przez 3.
       
  3. Podzielność liczby przez 4

    Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.

    Przykład:

    • 2 147 816 → liczba jest podzielna przez 4, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 16, a liczba 16 jest podzielna przez 4.
       
  4. Podzielność liczby przez 5

    Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.

    Przykład:

    • 18 298 415 → liczba jest podzielna przez 5, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 5.
       
  5. Podzielność liczby przez 6

    Liczba jest podzielna przez 6, gdy jednocześnie dzieli się przez 2 i 3.

    Przykład:

    • 1248 → liczba jest podzielna przez 6, ponieważ dzieli się przez 2 (jej ostatnią cyfrą jest 8), a także dzieli się przez 3 (suma jej cyfr 1+2+4+8=15 jest liczbą podzielną przez 3).
       
  6. Podzielność liczby przez 9

    Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9.

    Przykład:

    • 1 890 351 -> liczba jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr (1+8+9+0+3+5+1=27) jest jest liczbą podzielną przez 9.
       
  7. Podzielność liczby przez 10

    Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfra jest 0.

    Przykład:

    • 192 290 → liczba jest podzielna przez 10, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest 0.
       
  8. Podzielność liczby przez 25

    Liczba jest podzielna przez 25, gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25.

    Przykład:

    • 4675 → liczba jest podzielna przez 25, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 75, a 75 jest podzielne przez 25.
       
  9. Podzielność liczby przez 100

    Liczba jest podzielna przez 100, gdy jej dwie ostatnie cyfry to zera.

    Przykład:

    • 12 848 100 → liczba jest podzielna przez 100, ponieważ jej dwie ostatnie cyfry to zera.
Ułamki dziesiętne i ich budowa
Ułamki dziesiętne to takie ułamki, których mianownikami są liczby 10, 100, 1000...

Przykłady:

  • $$1/{10}= 0,1$$
  • $$2/{100}= 0,02$$
  • $${15}/{100}= 0,15$$
  • $$3/{1000}= 0,003$$
  • $${25}/{10}= 2,5$$

Ułamki dziesiętne zapisujemy bez użycia kreski ułamkowej, natomiast stosujemy przecinek (zwany przecinkiem dziesiętnym), który oddziela część całkowitą od części ułamkowej.
 

rys1
 

Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne, czwarte - części dziesięciotysięczne itd.

Przykład:

cyfry po przecinku
 

Powyższy ułamek możemy rozpisać:

$$0,781= {700}/{1000}+{80}/{1000}+1/{1000}=7/{10}+8/{100}+1/{1000}$$ -> łatwo zauważyć, że 7 to części dziesiąte, 8 części setne, a 1 to części tysięczne.

  Ciekawostka

Zapis dziesiętny liczb został opracowany w XV wieku przez perskiego matematyka Al-Kaszi, w jego dziele Miftah al-hisab (Klucz do arytmetyki). Rozpowszechnienie zawdzięczamy jednak holenderskiemu uczonemu Simonowi Stevinowi, który 1585 r. w swej pracy De Thiende (Dziesięcina) omówił istotę ułamków dziesiętnych. Notacja Stevina odbiegała od obecnie stosowanej i była dość skomplikowana, została więc szybko zmieniona. Liczby z przecinkiem błyskawicznie przyjęły się i liczbę wymierną można było wyrazić już nie tylko w postaci ułamka zwykłego. Oddzielenie przecinkiem całości od części dziesiętnych było pomysłem angielskiego matematyka. J. Nepera.

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom