Przekątna deltoidu BD jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta BCD (równoramiennego, prostokątnego). Znamy zależności pomiędzy długościami boków takiego trójkąta. Długości tych boków pozostają w stosunku:

`a \ : \ a \ : \ asqrt2` 

Przy czym najdłuższym bokiem o długości wyrażonej jako a√2 jest przeciwprostokątna tego trójkąta, stąd w tym zadaniu możemy napisać równość:

$a\sqrt{2}=4\sqrt{2}\mid :\sqrt{2}$  

$a=4\text{cm}$  

$\left|BC\right|=\left|CD\right|=4\text{cm}$  

Boki AD i AB są równej długości, oznaczmy tą długość jako x i sporządźmy równanie korzystając z podanej wartości obwodu tej figury.

$x+x+4+4=4\left(2+\sqrt{10}\right)$     

$2x+8=8+4\sqrt{10}\mid -8$ $2x+8=8+4\sqrt{10}\mid -8$  

$2x=4\sqrt{10}\mid :2$  

$x=2\sqrt{10}\text{cm}$  

Oznaczmy sobie punkt przecięcia się przekątnych deltoidu jako E. Przekątna AC jest jednocześnie dwusieczną kątów między bokami równej długości, stąd:

$\left|\angle ACD\right|=\left|\angle ACB\right|={90}^{o}2:2={45}^o$

Przekątne przecinają się pod kątem prostym, stąd:

$\left|\angle DEC\right|={90}^o$  

Punkt przecięcia przekątnych dzieli przekątną DB na połowy, stąd:

$\left|DE\right|=DB\mid =2\sqrt{2}\text{cm}$  

Trójkąt DEC jest prostokątny równoramienny, stąd:

$\left|EC\right|=2\sqrt{2}\text{cm}$  

Z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka AE:

${\left(2\sqrt{2}\text{cm}\right)}^2+{\left|AE\right|}^2={\left(2\sqrt{10}\text{cm}\right)}^2$  

$2^2\cdot 2{\text{cm}}^2+{\left|AE\right|}^2=2^2\cdot {\left(\sqrt{10}\right)}^2{\text{cm}}^2$  

$8{\text{cm}}^2+{\left|AE\right|}^2=4\cdot 10{\text{cm}}^2$  

$8{\text{cm}}^2+{\left|AE\right|}^2=40{\text{cm}}^2\mid -8{\text{cm}}^2$  

${\left|AE\right|}^2=32{\text{cm}}^2\mid \sqrt{}$   

$\left|AE\right|=\sqrt{32}\text{cm}=\sqrt{16\cdot 2}\text{cm}=4\sqrt{2}\text{cm}$  

$\left|AC\right|=\left|AE\right|+\left|EC\right|=4\sqrt{2}\text{cm}+2\sqrt{2}\text{cm}=\underline{\underline{6\sqrt{2}\text{cm}}}$   

   

Odpowiedź:

Przekątna AC deltoidu ma długość 6√2 cm.