Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2015

Zaznacz w układzie współrzędnych 4.33 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Zaznacz w układzie współrzędnych

93
 Zadanie
94
 Zadanie

95
 Zadanie

96
 Zadanie
97
 Zadanie

W każdym przykładzie najpierw przyrównujemy każde z wyrażeń pod wartością bezwzględną do zera. Tak wyznaczone liczby wyznaczą przedziały, w których będziemy rozpatrywać nierówności. 

 

 

`x-1=0\ \ \ |+1`

`x=1`

 

`x-3=0\ \ \ |+3`

`x=3`

 

`1)\ x in (-infty;\ 1)`

`\ \ \ |x-1|+|x-3|>=4`

`\ \ \ -(x-1)-(x-3)>=4`

`\ \ \ -x+1-x+3>=4`

`\ \ \ -2x+4>=4\ \ \ |-4`

`\ \ \ -2x>=0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<=0`

  

Otrzymane rozwiązanie weryfikujemy jeszcze z przedziałem, w którym rozpatrujemy nierówność: 

`(x<0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 1))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-infty;\ 0)`

 

`2)\ x in <<1;\ 3)`

`\ \ \ |x-1|+|x-3|>=4`

`\ \ \ x-1-(x-3)>=4`

`\ \ \ x-1-x+3>=4`

`\ \ \ 2>=4`

Powyższa nierówność jest fałszywa, więc w drugim przedziale nierówność nie ma rozwiązania. 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |x-1|+|x-3|>=4`

`\ \ \ x-1+x-3>=4`

`\ \ \ 2x-4>=4\ \ \ \ |+4`

`\ \ \ 2x>=8\ \ \ |:2`

`\ \ \ x>=4`

Otrzymane rozwiązanie weryfikujemy jeszcze z przedziałem, w którym rozpatrujemy nierówność: 

`(x>=4\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<4;\ +infty))`

 

Przypadki 1), 2) i 3) dają ostateczne rozwiązanie nierówności: 

`ul(ul(x in (-infty;\ 0)uu<<4;\ +infty)))`

 

 

 

 

`y-1=0\ \ \ |+1`

`y=1`

 

`y-3=0\ \ \ |+3`

`y=3`

 

Mamy trzy przypadki: 

`1)\ y in (-infty;\ 1)`

`\ \ \ |y-1|+|y-3|<=8`

`\ \ \ -(y-1)-(y-3)<=8`

`\ \ \ -y+1-y+3<=8`

`\ \ \ -2y+4<=8\ \ \ |-4`

`\ \ \ -2y<=4\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ y>=-2`

Otrzymane rozwiązanie weryfikujemy jeszcze z przedziałem, w którym rozpatrujemy nierówność: 

`(y>=-2\ \ \ "i"\ \ \ y in (-infty;\ 1))\ \ \ =>\ \ \ ul(y in <<-2;\ 1))`

 

 

`2)\ y in <<1;\ 3)`

`\ \ \ |y-1|+|y-3|<=8`

`\ \ \ y-1-(y-3)<=8`

`\ \ \ y-1-y+3<=8`

`\ \ \ 2<=8`

Nierówność jest zawsze prawdziwa, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału spełniają nierówność. 

`ul(y in <<1;\ 3))`

 

`3)\ y in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |y-1|+|y-3|<=8`

`\ \ \ y-1+y-3<=8`

`\ \ \ 2y-4<=8\ \ \ |+4`

`\ \ \ 2y<=12\ \ \ |:2`

`\ \ \ y<=6`

Otrzymane rozwiązanie weryfikujemy jeszcze z przedziałem, w którym rozpatrujemy nierówność: 

`(y <=6\ \ \ "i"\ \ \ y in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(y in <<3;\ 6>>)`

 

 

Przypadki 1), 2) i 3) dają ostateczne rozwiązanie nierówności: 

`ul(ul(y in <<-2;\ 6>>))`

 

 

Możemy więc zapisać zbiór A w prostszej postaci: 

`A={(x,\ y)inR^2:\ \ |x-1|+|x-3|>=4\ \ \ "i"\ \ \ |y-1|+|y-3|<=8}={(x,\ y)inR^2:\ \ \ x in (-infty;\ 0)uu<<4;\ +infty)\ \ "i"\ \ y in <<-2;\ 6>>}`