W każdym przykładzie najpierw przyrównujemy każde z wyrażeń pod wartością bezwzględną do zera. Tak wyznaczone liczby wyznaczą przedziały, w których będziemy rozpatrywać równania. 

 

$a)$

$x+3=0\mid -3$

$x=-3$

Mamy dwie możliwości:

$1)x\in \left(-\infty ;-3\right)$

$\left|x+3\right|-x=7$

$-\left(x+3\right)-x=7$

$-x-3-x=7$

$-2x-3=7\mid +3$

$-2x=10\mid :\left(-2\right)$

$x=-5\in \left(-\infty ;-3\right)$

 

 

$2)x\in ⟨-3;+\infty )$

$\left|x+3\right|-x=7$

$x+3-x=7$

$3=7$

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc równanie w drugim przedziale nie ma rozwiązania. 

 

$\text{Rozwiązaniem roˊwnania jest}-5.$

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

 

$b)$

$1-x=0\mid +x$

$1=x$

$x=1$

 

Mamy dwie możliwości:

 

$1)x\in \left(-\infty ;1\right)$

$\left|1-x\right|+1=x$

$1-x+1=x$

$2-x=x\mid +x$

$2=2x\mid :2$

$x=1\notin \left(-\infty ;1\right)$

W pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

$2)x\in ⟨1;+\infty )$

$\left|1-x\right|+1=x$

$-\left(1-x\right)+1=x$

$-1+x+1=x$

$x=x\mid -x$

$0=0$

Otrzymaliśmy równość, która jest zawsze spełniona, co oznacza, że wszystkie liczby znajdujące się w drugim przedziale są rozwiązaniem równania.

 

$\text{Rozwiązaniem roˊwnania są wszystkie liczby znajdujące się w przedziale}⟨1;+\infty ).$

 

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$c)$

$2x-1=0\mid +1$

$2x=1\mid :2$

$x=\frac{1}{2}$

 

 

$x-5=0\mid +5$

$x=5$

 

 

Mamy trzy możliwośći: 

$1)x\in \left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$

$\left|2x-1\right|+\left|x-5\right|=6$

$-\left(2x-1\right)-\left(x-5\right)=6$

$-2x+1-x+5=6$

$-3x+6=6\mid -6$

$-3x=0\mid :\left(-3\right)$

$x=0\in \left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$

$x=0\in \left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$

 

 

$2)x\in ⟨\frac{1}{2};5)$

$\left|2x-1\right|+\left|x-5\right|=6$

$2x-1-\left(x-5\right)=6$

$2x-1-x+5=6$

$x+4=6\mid -4$

$x=2\in ⟨\frac{1}{2};5)$

 

 

$3)x\in ⟨5;+\infty )$

$\left|2x-1\right|+\left|x-5\right|=6$

$2x-1+x-5=6$

$3x-6=6\mid +6$

$3x=12\mid :3$

$x=4\notin ⟨5;+\infty )$

 

$\text{Rozwiązaniami roˊwnania są liczby}0\text{i}2.$

 

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

 

$d)$

$1-3x=0\mid +3x$

$1=3x\mid :3$

$x=\frac{1}{3}$

 

$x+6=0\mid -6$

$x=-6$

 

Mamy trzy możliwości: 

$1)x\in \left(-\infty ;-6\right)$

$\left|1-3x\right|-\left|x+6\right|=-3$

$1-3x-\left(-\left(x+6\right)\right)=-3$

$1-3x+x+6=-3$

$7-2x=-3\mid -7$

$-2x=-10\mid :\left(-2\right)$

$x=5\notin \left(-\infty ;-6\right)$

 

 

$2)x\in ⟨-6;\frac{1}{3})$

$\left|1-3x\right|-\left|x+6\right|=-3$

$1-3x-\left(x+6\right)=-3$

$1-3x-x-6=-3$

$-5-4x=-3\mid +5$

$-4x=2\mid :\left(-4\right)$

$x=-\frac{1}{2}\in ⟨-6;\frac{1}{3})$

 

 

$3)x\in ⟨\frac{1}{3};+\infty )$

$\left|1-3x\right|-\left|x+6\right|=-3$

$-\left(1-3x\right)-\left(x+6\right)=-3$

$-1+3x-x-6=-3$

$2x-7=-3\mid +7$

$2x=4\mid :2$

$x=2\in ⟨\frac{1}{3};+\infty )$

 

$\text{Rozwiązaniem roˊwnania są liczby}-\frac{1}{2}\text{i}2.$

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

 

$e)$

$x+1=0\mid -1$

$x=-1$

 

 

$x-1=0\mid +1$

$x=1$

 

Mamy trzy możliwości:

$1)x\in \left(-\infty ;-1\right)$

$4\left|x+1\right|+\left|x-1\right|=2$

$-4\left(x+1\right)-\left(x-1\right)=2$

$-4x-4-x+1=2$

$-5x-3=2\mid +3$

$-5x=5\mid :\left(-5\right)$

$x=-1\notin \left(-\infty ;-1\right)$

 

$2)x\in ⟨-1;1)$

$4\left|x+1\right|+\left|x-1\right|=2$

$4\left(x+1\right)-\left(x-1\right)=2$

$4x+4-x+1=2$

$3x+5=2\mid -5$

$3x=-3\mid :3$

$x=-1\in ⟨-1;1)$

 

$3)x\in ⟨1;+\infty )$

$4\left|x+1\right|+\left|x-1\right|=2$

$4\left(x+1\right)+\left(x-1\right)=2$

$4x+4+x-1=2$

$5x+3=2\mid -3$

$5x=-1\mid :5$

$x=-\frac{1}{5}\notin ⟨1;+\infty )$

 

 

$\text{Rozwiązaniem roˊwnania jest liczba}-1.$

 

 

$\underline{\underline{}}$

 

 

$f)$

$x-7=0\mid +7$

$x=7$

 

 

$4-x=0\mid +x$

$4=x$

$x=4$

 

Mamy trzy możliwości: 

$1)x\in \left(-\infty ;4\right)$

$\left|x-7\right|=2-\left|4-x\right|$

$-\left(x-7\right)=2-\left(4-x\right)$

$-x+7=2-4+x$

$-x+7=-2+x\mid -x$

$-2x+7=-2\mid -7$

$-2x=-9\mid :\left(-2\right)$

$=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}\notin \left(-\infty ;4\right)$

 

 

$2)x\in ⟨4;7)$

$\left|x-7\right|=2-\left|4-x\right|$

$-\left(x-7\right)=2-\left(-\left(4-x\right)\right)$

$-x+7=2+4-x$

$-x+7=6-x\mid +x$

$7=6$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania. 

 

 

$3)x\in ⟨7;+\infty )$

$\left|x-7\right|=2-\left|4-x\right|$

$x-7=2-\left(-\left(4-x\right)\right)$

$x-7=2+4-x$

$x-7=6-x\mid +x$

$2x-7=6\mid +7$

$2x=13\mid :2$

$x=\frac{13}{2}=6\frac{1}{2}\notin ⟨7;+\infty )$

 

$\text{Roˊwnanie nie ma rozwiązania.}$