$a)\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=8\\ y=x+2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(x+2\right)}^2=8\\ y=x+2\end{array}$

Pomocniczo rozwiążmy pierwsze równanie osobno:

$x^2+{\left(x+2\right)}^2=8$

$x^2+x^2+4x+4=8$

$2x^2+4x-4=0\mid :2$  

$x^2+2x-2=0$

$\Delta =4-4\cdot \left(-2\right)=4+8=12$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$

$x_1=\frac{-2-2\sqrt{3}}{2}=-1-\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-2+2\sqrt{3}}{2}=-1+\sqrt{3}$

Wracamy do układu równań:

$\{\begin{array}{l}{x}_1=-1-\sqrt{3}\\ y_1=x_1+2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{x}_2=-1+\sqrt{3}\\ y_2=x_2+2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}_1=-1-\sqrt{3}\\ y_1=1-\sqrt{3}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{x}_2=-1+\sqrt{3}\\ y_2=1+\sqrt{3}\end{array}$  

 

$b)\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=8\\ y=x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(x+4\right)}^2=8\\ y=x+4\end{array}$

Pomocniczo rozwiążmy pierwsze równanie osobno:

$x^2+{\left(x+4\right)}^2=8$

$x^2+x^2+8x+16=8$

$2x^2+8x+8=0\mid :2$

$x^2+4x+4=0$  

$\Delta =4^2-4\cdot 4=0$

$x_0=\frac{-4}{2}=-2$

Wracamy do układu równań:

$\{\begin{array}{l}{x}_0=-2\\ y_0=x_0+4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}_0=-2\\ y_0=2\end{array}$

 

$c)\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=8\\ y=x+5\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(x+5\right)}^2=8\\ y=x+5\end{array}$

Pomocniczo rozwiążmy pierwsze równanie osobno:

$x^2+{\left(x+5\right)}^2=8$

$x^2+x^2+10x+25=8$

$2x^2+10x+17=0$

$\Delta =100-136=-36$

Nie ma rozwiązań.

 

 

$d)\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=8\\ y=x-2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(x-2\right)}^2=8\\ y=x-2\end{array}$

Pomocniczo rozwiążmy pierwsze równanie osobno:

$x^2+x^2-4x+4=8$

$2x^2-4x-4=0\mid :2$

$x^2-2x-2=0$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)=4+8=12$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-2\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+2\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}$