$a)\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(2-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(4-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$  

 

Odległość punktu C od prostej AB:

$x-y+2=0$  

 

Współczynniki wynoszą:

$A=1,B=-1,C=2$  

Współrzędne punktu C wynoszą:

$x_0=5,y_0=-3$

Podstawmy do wzoru:

$d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|1\cdot 5-1\cdot \left(-3\right)+2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|5+3+2\right|}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$ $d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|1\cdot 5-1\cdot \left(-3\right)+2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|5+3+2\right|}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$

 

Pole trójkąta o boku a i wysokości h opuszczonej na ten bok jest dane wzorem:

$P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 2=25$

 

 

$b)\left|AB\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(0-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

 

Odległość punktu C od prostej AB:

Wpierw znajdziemy równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(-2,-2), B=(2,0). Zacznijmy od postaci kierunkowej.

$y=ax+b$  

Prosta AB przecina oś OY w punkcie -¹/₂, a więc b=-¹/₂.

$y=ax-\frac{1}{2}$

Zamieńmy na postać ogólną:

$-Ax+By+\frac{1}{2}=0$

Podstawmy współrzędne obu punktów i rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{array}{l}-A\cdot \left(-2\right)+B\cdot \left(-2\right)+\frac{1}{2}=0\\ -A\cdot 2+B\cdot 0+\frac{1}{2}=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}2A-2B+\frac{1}{2}=0\\ -2A+\frac{1}{2}=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}2A-2B+\frac{1}{2}=0\\ 2A=\frac{1}{2}\mid :2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}-2B+\frac{1}{2}=0\\ A=\frac{1}{4}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}2B=1\\ A=\frac{1}{4}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{4}\\ B=\frac{1}{2}\end{array}$

 

Równanie ogólne prostej:

$-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=0$

 

Współczynniki wynoszą:

$A=-\frac{1}{4},B=\frac{1}{2},C=\frac{1}{2}$

Współrzędne punktu C:

$x_0=4,y_0=6$  

 

 

Podstawmy do wzoru:

$d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\mid -\frac{1}{4}\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot 6+\frac{1}{2}}{\sqrt{{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}}=\frac{\left|-1+3+\frac{1}{2}\right|}{\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}}}=\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{\frac{5}{16}}}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{4}}=\frac{5}{2}\cdot \frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$

 

 

Pole trójkąta:

$P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=2\cdot 5=10$