W zadaniu bedziemy korzystać ze wzorów:

Długość okręgu:

$O=2\pi r$

 

Pole koła:

$P=\pi r^2$

 

Długość łuku wyznaczonego przez kąt α:

$l=\frac{\alpha }{{360}^{\text{o}}}\cdot 2\pi r$

gdzie α - kąt środkowy oparty na łuku l, r - promień okręgu

Na potrzeby zaania możemy wzór zapisać następująco:

$l=\frac{\alpha }{{360}^{\text{o}}}\cdot O$

(gdzie O - długość okręgu)

 

Pole wycinka koła wyznaczone przez kąt α:

$P_w=\frac{\alpha }{{360}^{\text{o}}}\cdot \pi r^2$

gdzie - kąt środkowy wyznaczający wycinek koła P_w, r - promień koła

Na potrzeby zadania możemy także zapisać wzór następująco:

$P_w=\frac{l}{360}\text{6}\cdot P$

(gdzie P - pole koła)

  

Tabelka:

r	O	P	α	l	Pw
60 cm	120π cm	3600π cm2	30°	10π cm	300π cm2
3 cm	6π cm	9π cm2	60°	π cm	3/2π cm2
5 cm	10π cm	25π cm2	72°	2π cm	5 π cm2
6 cm	12π cm	36π cm2	10°	1/3π cm	π cm2

 

Wiersz 1:

$r=60cm$

Obliczmy długość okręgu o danym promieniu:

$O=2\pi \cdot 60$

$O=120\pi \left[cm\right]$

 

Obliczmy pole koła o danym promieniu:

$P=\pi \cdot \left({60}^2\right)$

$P=3600\pi \left[c{m}^2\right]$

 

Kąt środkowy ma 30°.

Obliczmy długość łuku l, który wyznaczony jest przez kąt środkowy 30°.

$l=\frac{1}{{\sout{12}}^1}\cdot {\sout{120}}^{10}\pi$

$l=10\pi \left[cm\right]$

 

Obliczmy pole wycinka koła, które wyznaczone jest przez kąt środkowy 30°.

$P_w=\frac{1}{{\sout{12}}^1}\cdot {\sout{3600}}^{300}\pi$

$P_w=300\pi \left[c{m}^2\right]$

$\underline{}$

Wiersz 2:

Wiemy, że:

$l=\pi cm$

oraz kąt środkowy ma miare:

$\alpha ={60}^{\text{o}}$

Obliczmy długość promienia tego okręgu podstawiając dane do wzoru na długość łuku wyznaczonego przez kat środkowy:

$1=\frac{1}{{\sout{6}}^3}\cdot {\sout{2}}^{1}r\mid \cdot 3$

$r=3\left[cm\right]$

 

Obliczmy długość okręgu o promieniu wynoszącym 3 cm:

$O=2\pi \cdot 3$

$O=6\pi \left[cm\right]$

 

Obliczmy pole koła o danym promieniu:

$P=\pi \cdot \left(3^2\right)$

$P=9\pi \left[c{m}^2\right]$

 

Kąt środkowy ma 60°.

Obliczmy pole wycinka koła, które wyznaczone jest przez kąt środkowy 60°.

$P_w=\frac{1}{{\sout{6}}^2}\cdot {\sout{9}}^3\pi$

$P_w=\frac{3}{2}\pi \left[c{m}^2\right]$

$\underline{}$

Wiersz 3:

Wiemy, że:

$P_w=5\pi c{m}^2$

oraz promień koła wynosi:

$r=5cm$

Obliczmy długość okręgu o promieniu wynoszącym 5 cm:

$O=2\pi \cdot 5$

$O=10\pi \left[cm\right]$

 

Obliczmy pole koła o danym promieniu:

$P=\pi \cdot \left(5^2\right)$

$P=25\pi \left[c{m}^2\right]$

 

Obliczmy jaką miarę ma kąt środkowy, który wyznacza wycineka koła o polu równym 5π cm².

Podstawiamy dane do wzoru na wycinek koła.

$5\pi =\frac{\alpha }{{360}^{\text{o}}}\cdot 25\pi \mid :5\pi$

$\alpha ={72}^{\text{o}}$

 

Obliczmy długość łuku l, który wyznaczony jest przez kąt środkowy 72°.

$l=\frac{1}{{\sout{5}}^1}\cdot {\sout{10}}^2\pi$

$l=2\pi \left[cm\right]$

$\underline{}$

Wiersz 4:

Wiemy, że:

$P_w=\pi c{m}^2$

oraz kąt środkowy ma miare:

$\alpha ={10}^{\text{o}}$

Obliczmy długość promienia tego okręgu podstawiając dane do wzoru na pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy:

$1=\frac{1}{36}\cdot r^2\mid \cdot 36$

$r^2=36$

$r=6\left[cm\right]$

 

Obliczmy długość okręgu o promieniu wynoszącym 6 cm:

$O=2\pi \cdot 6$

$O=12\pi \left[cm\right]$

 

Obliczmy pole koła o danym promieniu:

$P=\pi \cdot \left(6^2\right)$

$P=36\pi \left[c{m}^2\right]$

 

Kąt środkowy ma 10°.

Obliczmy długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy 10°.

$l=\frac{1}{{\sout{36}}^1}\cdot {\sout{12}}^1\pi$

$l=\frac{1}{3}\pi \left[cm\right]$