a)

Długość łuku a stanowi ¹/₄ część długości okręgu o promieniu r_a = 4.

Obliczmy długość łuku b. 

$a=\frac{1}{{\sout{4}}^1}\cdot 2\pi \cdot {\sout{4}}^1$

$a=2\pi$

Długość łuku b jest połową długości okręgu o promieniu r_b = 1.

Obliczmy długość łuku b. 

$b=\frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot {\sout{2}}^1\pi \cdot 1$

$b=\pi$

Długość łuku c stanowi ¹/₄ część długości okręgu o promieniu r_c = 3.

Obliczmy długość łuku c. 

$c=\frac{1}{{\sout{4}}^2}\cdot {\sout{2}}^1\pi \cdot 3$

$c=\frac{3}{2}\pi$

Długość łuku d jest  ¹/₄ długości okręgu o promieniu r_d = 2.

Obliczmy długość łuku b. 

$d=\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 2$

$d=1\pi$

 

Rysunek I:

$L_I=2\cdot 1+2\cdot b+2+a+c$

$L_I=2+2\pi +2+2\pi +\frac{3}{2}\pi$

$L_I=5\frac{1}{2}\pi +4$

 

Rysunek II:

$L_{II}=4\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 2+2\cdot d+c$

$L_{II}=4+6+4+2\cdot 1\pi +\frac{3}{2}\pi$

$L_{II}=14+2\pi +\frac{3}{2}\pi$

$L_{II}=14+3\frac{1}{2}\pi$

 

Na rysunki III długość narysowanych linii ma wynosić 5π+8. Sprawdźmy czy tak jest.    

Rysunek III:

$L_{III}=2\cdot 1+6+3\cdot b+a$

$L_{III}=2+6+3\cdot \pi +2\pi$

$L_{III}=8+5\pi$

$\underline{\underline{}}$

b)

 

Rysunek I:

Pole zamalowanej figury obliczymy odejmując od pola kwadratu o boku 6 trzy ćwiartki koła o promieniu 2.

$P_I=6^2-3\cdot \left(\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot 2^2\right)$

$P_I=36-3\cdot \left(\frac{1}{{\sout{4}}^1}\cdot \pi \cdot {\sout{4}}^1\right)$

$P_I=36-3\cdot \pi$

$P_I=36-3\pi$

 

Rysunek II:

Pole zamalowanej figury obliczymy dodając dwa razy pola prostokątów o wymiarach 4 x 2 oraz pole połowy koła o promieniu wynoszącym 3 i odejmując od całości pole połowy koła o promieniu 1.

$P_{II}=\left(2\cdot 2\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot 3^2\right)-\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot 1^2$

$P_{II}=\left(16+\frac{9}{2}\pi \right)-\frac{1}{2}\pi$

$P_{II}=16+\frac{{\sout{8}}^4}{{\sout{2}}^1}\pi$

 

$P_{II}=16+4\pi$