Matematyka

Rozwiąż algebraicznie i graficznie 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)`

Rozwiązujemy układ równań algebraicznie: 

`{(x+y=-4 \ \ \ |-x), (2x+y=-5):}`

`{(y=-x-4), (2x+(-x-4)=-5):}`

`{(y=-x-4), (2x-x-4=-5):}`

`{(y=-x-4), (x-4=-5\ \ \ |+4):}`

`{(y=-x-4), (x=-1):}`

`{(y=1-4=-3), (x=-1):}`

 

Aby rozwiązać układ równań graficznie, przekształćmy równania do postaci kierunkowej: 

`{(x+y=-4\ \ \ |-x), (2x+y=-5\ \ \ |-2x):}`

`{(y=-x-4), (y=-2x-5):}`

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu pierwszego równania: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-0-4=0-4=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -4)`

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=-(-2)-4=2-4=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-2;\ -2)`

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu drugiego równania: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-2*0-5=0-5=-5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -5)`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-2*(-1)-5=2-5=-3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-1;\ -3)`

 

Rysujemy oba wykresy w układzie współrzędnych:

 

Odczytujemy rozwiązanie układu: 

`{(x=-1), (y=-3):}`

 

Oba sposoby dały jednakowe rozwiązanie. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

Rozwiązujemy układ równań algebraicznie: 

`{(3x-y=3\ \ \ |*(-3)), (2x-3y=2):}`

`{(-9x+3y=-9), (2x-3y=2):}\ \ \ \ |+`

`-7x=-7\ \ \ |:(-7)`

`x=1`

 

Podstawiamy wyliczoną wartość x do pierwszego równania pierwszego układu: 

`3*1-y=3`

`3-y=3\ \ \ |-3`

`-y=0\ \ \ |*(-1)`

`y=0`

 

Mamy rozwiązanie układu: 

`{(x=1), (y=0):}`

 

Aby rozwiązać układ równań graficznie, przekształćmy równania do postaci kierunkowej: 

`{(3x-y=3\ \ \ |-3x), (2x-3y=2\ \ \ |-2x):}`

`{(-y=-3x+3\ \ \ |*(-1)), (-3y=-2x+2\ \ \ |:(-3)):}`

`{(y=3x-3), (y=2/3x-2/3):}`

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu pierwszego równania: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0-3=0-3=-3\ \ \ -> \ \ \ "punkt"\ (0;\ -3)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3*2-3=6-3=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 3)`

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu drugiego równania: 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*1-2/3=2/3-2/3=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 0)`

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*4-2/3=8/3-2/3=6/3=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (4;\ 2)`

 

Rysujemy oba wykresy w układzie współrzędnych:

 

Odczytujemy rozwiązanie układu: 

`{(x=1), (y=0):}`

 

Oba sposoby dały jednakowe rozwiązanie. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

Rozwiązujemy układ równań algebraicznie: 

`{(3x+2y=1),(x-2y=-5):}\ \ \ |+`

`4x=-4\ \ \ |:4`

`x=-1`

 

Podstawiamy wyliczoną wartość y do pierwszego równania: 

`3*(-1)+2y=1`

`-3+2y=1\ \ \ |+3`

`2y=4\ \ \ |:2`

`y=2`

 

 

Mamy rozwiązanie układu: 

`{(x=-1), (y=2):}`

 

 

 

Aby rozwiązać układ równań graficznie, przekształćmy równania do postaci kierunkowej: 

`{(3x+2y=1\ \ \ \|-3x), (x-2y=-5\ \ \ |-x):}`

`{(2y=-3x+1\ \ \ |:2), (-2y=-x-5\ \ \ |:(-2)):}`

`{(y=-3/2x+1/2), (y=1/2x+5/2):}`

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu pierwszego równania: 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*1+1/2=-3/2+1/2=-2/2=-1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ -1)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*3+1/2=-9/2+1/2=-8/2=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ -4)`

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu drugiego równania: 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*1+5/2=1/2+5/2=6/2=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 3)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*3+5/2=3/2+5/2=8/2=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 4)`

 

 

Rysujemy oba wykresy w układzie współrzędnych:

 

 

Odczytujemy rozwiązanie układu:

`{(x=-1), (y=2):}`

 

Oba sposoby dały jednakowe rozwiązanie. 

 

 

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Porównywanie ułamków

Porównywanie dwóch ułamków polega na stwierdzeniu, który z nich jest mniejszy, który większy.

  • Porównywanie ułamków o takich samych mianownikach
    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same mianowniki, to ten jest większy, który ma większy licznik

    Przykład:

    $$3/8$$ < $$5/8$$
     
  • Porównywanie ułamków o takich samych licznikach
    Jeżeli ułamki zwykłe mają takie same liczniki, to ten jest większy, który ma mniejszy mianownik.

    Przykład:

    $$4/5$$ > $$4/9$$
Pole prostokąta

Liczbę kwadratów jednostkowych potrzebnych do wypełnienia danego prostokąta nazywamy polem prostokąta.


Prostokąt o bokach długości a i b ma pole równe: $$P = a•b$$.

pole prostokąta

W szczególności: pole kwadratu o boku długości a możemy policzyć ze wzoru: $$P=a•a=a^2$$.

  Zapamiętaj

Przed policzeniem pola prostokąta pamiętaj, aby sprawdzić, czy boki prostokąta są wyrażone w takich samych jednostkach.

Przykład:

  • Oblicz pole prostokąta o bokach długości 2 cm i 4 cm.

    $$ P=2 cm•4 cm=8 cm^2 $$
    Pole tego prostokąta jest równe 8 $$cm^2$$.

Zobacz także
Udostępnij zadanie