Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2015

Rozwiąż algebraicznie i graficznie 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

`a)` 

Rozwiązujemy układ równań algebraicznie: 

`{(x+y=-4 \ \ \ |-x), (2x+y=-5):}` 

`{(y=-x-4), (2x+(-x-4)=-5):}` 

`{(y=-x-4), (2x-x-4=-5):}` 

`{(y=-x-4), (x-4=-5\ \ \ |+4):}` 

`{(y=-x-4), (x=-1):}` 

`{(y=1-4=-3), (x=-1):}` 

 

Aby rozwiązać układ równań graficznie, przekształćmy równania do postaci kierunkowej: 

`{(x+y=-4\ \ \ |-x), (2x+y=-5\ \ \ |-2x):}` 

`{(y=-x-4), (y=-2x-5):}` 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu pierwszego równania: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-0-4=0-4=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -4)` 

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=-(-2)-4=2-4=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-2;\ -2)` 

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu drugiego równania: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-2*0-5=0-5=-5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -5)`  

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-2*(-1)-5=2-5=-3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-1;\ -3)` 

 

Rysujemy oba wykresy w układzie współrzędnych:

 

Odczytujemy rozwiązanie układu: 

`{(x=-1), (y=-3):}` 

 

Oba sposoby dały jednakowe rozwiązanie. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`b)` 

Rozwiązujemy układ równań algebraicznie: 

`{(3x-y=3\ \ \ |*(-3)), (2x-3y=2):}` 

`{(-9x+3y=-9), (2x-3y=2):}\ \ \ \ |+` 

`-7x=-7\ \ \ |:(-7)` 

`x=1` 

 

Podstawiamy wyliczoną wartość x do pierwszego równania pierwszego układu: 

`3*1-y=3` 

`3-y=3\ \ \ |-3`

`-y=0\ \ \ |*(-1)` 

`y=0` 

 

Mamy rozwiązanie układu: 

`{(x=1), (y=0):}` 

 

Aby rozwiązać układ równań graficznie, przekształćmy równania do postaci kierunkowej: 

`{(3x-y=3\ \ \ |-3x), (2x-3y=2\ \ \ |-2x):}` 

`{(-y=-3x+3\ \ \ |*(-1)), (-3y=-2x+2\ \ \ |:(-3)):}` 

`{(y=3x-3), (y=2/3x-2/3):}` 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu pierwszego równania: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0-3=0-3=-3\ \ \ -> \ \ \ "punkt"\ (0;\ -3)` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3*2-3=6-3=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 3)` 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu drugiego równania: 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*1-2/3=2/3-2/3=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 0)` 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*4-2/3=8/3-2/3=6/3=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (4;\ 2)` 

 

Rysujemy oba wykresy w układzie współrzędnych:

 

Odczytujemy rozwiązanie układu: 

`{(x=1), (y=0):}` 

 

Oba sposoby dały jednakowe rozwiązanie. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

Rozwiązujemy układ równań algebraicznie: 

`{(3x+2y=1),(x-2y=-5):}\ \ \ |+`  

`4x=-4\ \ \ |:4` 

`x=-1` 

 

Podstawiamy wyliczoną wartość y do pierwszego równania: 

`3*(-1)+2y=1` 

`-3+2y=1\ \ \ |+3` 

`2y=4\ \ \ |:2` 

`y=2` 

 

 

Mamy rozwiązanie układu: 

`{(x=-1), (y=2):}` 

 

 

 

Aby rozwiązać układ równań graficznie, przekształćmy równania do postaci kierunkowej: 

`{(3x+2y=1\ \ \ \|-3x), (x-2y=-5\ \ \ |-x):}` 

`{(2y=-3x+1\ \ \ |:2), (-2y=-x-5\ \ \ |:(-2)):}` 

`{(y=-3/2x+1/2), (y=1/2x+5/2):}` 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu pierwszego równania: 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*1+1/2=-3/2+1/2=-2/2=-1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ -1)` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-3/2*3+1/2=-9/2+1/2=-8/2=-4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ -4)` 

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu drugiego równania: 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*1+5/2=1/2+5/2=6/2=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 3)` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*3+5/2=3/2+5/2=8/2=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 4)` 

 

 

Rysujemy oba wykresy w układzie współrzędnych:

 

 

Odczytujemy rozwiązanie układu:

`{(x=-1), (y=2):}` 

 

Oba sposoby dały jednakowe rozwiązanie.