a) Oznaczamy:

x - ilość zebranych prawdziwków

y - ilośc zebranych podgrzybków

5 - ilość zebrnych koźlarzy 

49 - ilość wszystkich zebranych grzybów

¹/₂x - ilość prawdziwków do wyrzucenia

²/₃y - ilość podgrzybków do wyrzucenia

23 - ilość grzybów nadająca się do zjedzenia 

 

Pierwsze równanie - suma wszystkich zebranych grzybów:

$x+y+5=49$  

Drugie równanie - ilość grzybów nadająca się do zjedzenia - od ilości wszystkich zebranych grzybów odejmujemy grzyby nadające się do wyrzucenia, wówczas pozostana jedynie grzyby nadające się do zjedzenia:

$49-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=23$  

 

Otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}x+y+5=49\\ 49-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=23\end{array}$  

$\underline{}$  

UWAGA:

Drugie równanie możemy także zapisać w inny sposób, jako sumę grzybów nadających się do zjedzenia (prawdziwki nadające się do jedzenia + podgrzybki nadające się do jedzenia + kozlarze nadające się do jedzenia = 23) .

Wiemy, że ¹/₂ prawdziwków nadaje sie do wyrzucenia, czyli pozostałe prawdziwki, także ¹/₂, nadaje sie do zjedzenia.

Do wyrzucenia jest także ²/₃ podgrzybków, czyli tylko ¹/₃ pogrzybków nadaje się do zjedzenia.

Kożlarze wszystkie nadają się do zjedzenia. Stąd drugie równanie mozemy zapisać:

$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+5=23$  

 

Układ równań wygląda wówczas następująco:

$\{\begin{array}{l}x+y+5=49\\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+5=23\end{array}$  

$\underline{\underline{}}$

b) Oznaczamy:

x - ilość kobiet biorących udział w konkursie

y - ilość mężczyzn biorących udział w konkursie 

81 - ilość wszystkich osób biorących udział w konkursie

Po pierwszym etapie odpadła ¹/₅ kobiet oraz ¹/₃ mężczyzn, czyli do drugiego etapu przystąpiło ⁴/₅ początkowej ilości kobiet oraz ²/₃ początkowej ilości mężczyzn.

⁴/₅ x - ilość kobiet po pierwszym etapie

²/₃ y - ilość mężczyzn po pierwszym etapie

W drugiem etapie było ⁴/₅ początkowej ilości kobiet. Po drugim etapie z tej ilości odpadła jednak połowa kobiet, czyli także połowa kobiet została, mamy więc:

¹/₂∙ ⁴/₅ x=⁴/₁₀ x - ilość kobiet po drugim etapie

W drugiem etapie było ²/₃ początkowej ilości mężczyzn. Po drugim etapie z tej ilości odpadła jeszcze połowa mężczyzn, czyli także połowa została, mamy więc:

¹/₂∙ ²/₃ y=²/₆ y - ilość mężczyzn po drugim etapie

30 - ilość osób po drugim etapie konkursu.

 

Pierwsze równanie - ilość osób biorących udział w konkursie:

$x+y=81$  

Drugie równanie - ilośc osób w finale (czyli po drugim etapie konkursu):

$\frac{4}{10}x+\frac{2}{6}y=30$  

 

Stąd otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}x+y=81\\ \frac{4}{10}x+\frac{2}{6}y=30\end{array}$  

W drugim równaniu możemy skrócić ułamki, wówczas układ równań bedzie miał postać

$\{\begin{array}{l}x+y=81\\ \frac{2}{5}x+\frac{1}{3}y=30\end{array}$