W każdym przykładzie punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta oznaczamy literą S. 

a) Miara kąta ABS jest równa mierze kąta SBC, gdyż odcinek BS zawiera się w dwusiecznej kąta ABC, czyli dzieli ten kąt na dwa kąty o równych miarach. 
`|  

Miara kąta BAS jest równa mierze kąta SAC, gdyż odcinek AS zawiera się w dwusiecznej kąta BAC, czyli dzieli ten kąt na dwa kąty o równych miarach. 
`|  

Miara kąta ACB wynosi więc:
`|  

Miara kąta ACS jest równa mierze kąta SCB, gdyż odcinek CS zawiera się w dwusiecznej kąta ACB, czyli dzieli ten kąt na dwa kąty o równych miarach. 
`|  

Miary kątów trójkąta ABC wynoszą więc:
`|  
`|  
`|    

Obliczamy ile wynoszą miary kątaów  ${\alpha }^1$

 , ${\alpha }^2$   oraz  ${\alpha }^3$  :
`alpha_1=180^o-|         
`alpha_2=180^o-|  
`alpha_3=180^o-|  

 

b) Miara kąta DFS jest równa mierze kąta EFS, gdyż odcinek FS zawiera się w dwusiecznej kąta DFE, czyli dzieli ten kąt na dwa kąty o równych miarach. 
`|  
  

Trójkąt DEF jest trójkątem równoramiennym, czyli kąty przy podstawie (odcinek DE) mają taką samą miarę.

Kąt DEF (czyli kąt między ramionami) ma miarę:
`|  

Kąty przy podstawie mają więc miarę:
`|  

Miara kąta EDS jest równa mierze kąta SDF, gdyż odcinek DS zawiera się w dwusiecznej kąta EDF, czyli dzieli ten kąt na dwa kąty o równych miarach. 
`|  

Miara kąta DES jest równa mierze kąta SEF, gdyż odcinek ES zawiera się w dwusiecznej kąta DEF, czyli dzieli ten kąt na dwa kąty o równych miarach. 
`|  

Miary kątów trójkąta DEF wynoszą więc:
`|  
`|  

Obliczamy ile wynoszą miary kątaów  ${\beta }^1$

 ,  ${\beta }^2$   oraz  ${\beta }^3$  :
`beta_1=180^o-|          
`beta_2=180^o-|   
`beta_3=180^o-|  

 

c) Miara kąta SIG jest równa mierze kąta SIH, gdyż odcinek IS zawiera się w dwusiecznej kąta GIH, czyli dzieli ten kąt na dwa kąty o równych miarach. 
`|  

Trójkąt IGH jest trójkątem prostokątnym, czyli miara kąta IGH wynosi:
`|  

Miara kąta SGI jest równa mierze kąta SGH, gdyż odcinek GS zawiera się w dwusiecznej kąta IGH, czyli dzieli ten kąt na dwa kąty o równych miarach. 
`|  

Trzeci kąt trójkąta IGH ma więc miarę:
`|  

Miara kąta SHG jest równa mierze kąta SHI, gdyż odcinek HS zawiera się w dwusiecznej kąta GHI, czyli dzieli ten kąt na dwa kąty o równych miarach. 
`|  

Miary kątów trójkąta IGH wynoszą więc: 
`|   
`|   
`|     

Obliczamy ile wynoszą miary kątaów  ${\gamma }^1$

  ,  ${\gamma }^2$   oraz  ${\gamma }^3$    :
`gamma_1=180^o-|          
`gamma_2=180^o-|   
`gamma_3=180^o-|