Uporządkuj podane...

W celu policzenia błędu bezwzględnego musimy znać wartość dokładną oraz przybliżoną, oznaczmy je jako:

d - wartość dokładna

p - wartość przybliżona

b - błąd

Oczywiście dobrane litery (zmienne) możemy mieć dowolne. Skorzystamy ze wzoru:

$b=|d-p|$

Najzwyczajniej w świecie liczymy różnicę pomiędzy naszym pomiarem, a wartością dokładną, jednakże korzystamy z wartości bezwzględnej. Uzasadnienie jest proste: nie możemy uzyskać błędu o wartości ujemnej (np.: "Te drzewa się różnią się o minus trzy metry"). Dla przypomnienia: wartość bezwzględna zawsze daje wynik dodatni lub 0, więcej o niej opowiemy w następnych działach (wpisz w naszą portalową wyszukiwarkę "wartość bezwzględna").

Przykład:

Odczytaliśmy z termometru za oknem temperaturę $-15,2 ^{o}C$. Termometr elektroniczny umieszczony tuż obok wskazuje temperaturę $-15,39 ^{o}C$. Jaki jest błąd bezwzględny naszego pomiaru?

$d=15,39$ -> W trakcie obliczeń opuszczę dla wygody jednostki, czyli tym razem stopnie Celsjusza.

$p=15,2$

$b=|d-p|$

$b=|-15,39-(-15,2)|$ -> pamiętamy, że dwa minusy dają plus

$b=|-15,39+15,2|=|-0,19|=0,19$ -> opuszczając wartość bezwzględną z liczby ujemnej zawsze mamy dodatnią

zatem błąd względny to:

$b=0,19^{o}C$
 

Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:
 

• $ sin^2 α+cos^2 α=1 $
• $ g α={sin α}/{cos α} $
• $ ctg α={cos α}/{sin α} $

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $sin$ lub $cos$.

Przykład:

Wiedząc, że $sin α=2/5$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:
 

1. „Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa
   
   Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:
   
   $sin^2 α+cos^2 α=1$
   
   Podstawiamy naszego znanego sinusa:
   
   $(2/5)^2+cos^2 α=1$
   
   Podnosimy do potęgi:
   
   $4/{25}+cos^2 α=1$
   
   i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:
   
   $cos^2 α=1-4/{25}$
   
   Ostatecznie:
   
   $cos^2 α={21}/{25}$
   
   I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $cos α={√{21} }/{√{25} }$
   
   Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:
   
   $cos α={√{21} }/5$
   
   Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
    
2. Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
   Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:
   
   $ g α={sin α}/{cos α}$
   
   Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:
   
   $ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:
   
   $ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$
   
   I mnożymy przez odwrotność:
   
   $ g α=2/5×5/{√{21} }$
   
   piątki się skracają:
   
   $ g α=2/1×1/{√{21} }$
   
   $ g α=2/{√{21} }$
   
   (Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):
   
   $ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$
   
   Pamiętamy, że:
   
   ${√{21} }/{√{21} }=1$
   
   Zatem nasz ułamek to:
   
   $ g α={2√21}/{21}$
   
   Tangens został policzony!
   
   Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
    
3. Krok 3: Cotangens z tangensa
   
   Przypomnijmy dwa wzory:
   
   $ g α={sinα}/{cosα} $
   
   $ctg α={cos α}/{sin α} $
   
   Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:
   
   $ g α={2√{21} }/{21}$
   
   $ctg α={21}/{2√{21} }$
   
   Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:
   
   $ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$

Zadanie zakończone.