Uporządkuj podane... - Zadanie 19: Matematyka z pomysłem 4. Zeszyt ćwiczeń cz. 2 2015 - strona 116
Matematyka
Wybierz książkę
Uporządkuj podane... 4.2 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Szkoła podstawowa
  2. 4 Klasa
  3. Matematyka
Zadanie premium

Rozwiązanie tego zadania jest widoczne tylko dla użytkowników Premium dla klasy 4 szkoły podstawowej

Jedynie niewielka część zadań rozwiązanych przez naszych nauczycieli jest dostępna za darmo. Wykup konto Premium, aby uzyskać dostęp do całej zawartości serwisu 🙂
DYSKUSJA
klasa:
4 szkoły podstawowej
Informacje
Autorzy: Barbara Dubiecka-Kruk, Piotr Piskorski, Anna Dubiecka, Ewa Malicka
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile

Korepetytor

Wiedza
Błąd bezwzględny

W celu policzenia błędu bezwzględnego musimy znać wartość dokładną oraz przybliżoną, oznaczmy je jako:

d - wartość dokładna

p - wartość przybliżona

b - błąd

Oczywiście dobrane litery (zmienne) możemy mieć dowolne. Skorzystamy ze wzoru:

$b=|d-p|$

Najzwyczajniej w świecie liczymy różnicę pomiędzy naszym pomiarem, a wartością dokładną, jednakże korzystamy z wartości bezwzględnej. Uzasadnienie jest proste: nie możemy uzyskać błędu o wartości ujemnej (np.: "Te drzewa się różnią się o minus trzy metry"). Dla przypomnienia: wartość bezwzględna zawsze daje wynik dodatni lub 0, więcej o niej opowiemy w następnych działach (wpisz w naszą portalową wyszukiwarkę "wartość bezwzględna").

Przykład:

Odczytaliśmy z termometru za oknem temperaturę $-15,2 ^{o}C$. Termometr elektroniczny umieszczony tuż obok wskazuje temperaturę $-15,39 ^{o}C$. Jaki jest błąd bezwzględny naszego pomiaru?

$d=15,39$ -> W trakcie obliczeń opuszczę dla wygody jednostki, czyli tym razem stopnie Celsjusza.

$p=15,2$

$b=|d-p|$

$b=|-15,39-(-15,2)|$ -> pamiętamy, że dwa minusy dają plus

$b=|-15,39+15,2|=|-0,19|=0,19$ -> opuszczając wartość bezwzględną z liczby ujemnej zawsze mamy dodatnią

zatem błąd względny to:

$b=0,19^{o}C$
 
Wyznaczanie funkcji trygonometrycznych
Zagadnienia z tego działu pojawiają się praktycznie na każdej maturze, o sprawdzianie z trygonometrii nie wspominając. Jest to wbrew pozorom bardzo prosty i schematyczny dział, a z racji, że jest wysoko punktowany dobrze by było go znać. Zacznijmy:

Potrzebne wzory:

Tutaj potrzebujemy podstawowych operacji arytmetycznych (działania na ułamkach oraz potęgach) oraz dosłownie trzech wzorów:
 
  • $ sin^2 α+cos^2 α=1 $
  • $ g α={sin α}/{cos α} $
  • $ ctg α={cos α}/{sin α} $

Celem naszego zadania jest znalezienie pozostałych funkcji trygonometrycznych mając tylko jedną, gdzie na poziomie podstawowym mamy zawsze tylko $sin$ lub $cos$.

Przykład:

Wiedząc, że $sin α=2/5$ oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. Również tutaj będziemy stosować listę kroków:
 
  1. „Krok pierwszy, wzór pierwszy” – obliczenie cosinusa

    Zastosujemy tu wzór numer jeden czyli tzw. Jedynka trygonometryczna:

    $sin^2 α+cos^2 α=1$

    Podstawiamy naszego znanego sinusa:

    $(2/5)^2+cos^2 α=1$

    Podnosimy do potęgi:

    $4/{25}+cos^2 α=1$

    i przenosimy na drugą stronę zostawiając tylko cosinusa, pamiętamy, że przenosząc zmieniamy znak:

    $cos^2 α=1-4/{25}$

    Ostatecznie:

    $cos^2 α={21}/{25}$

    I „opuszczamy” kwadrat, pamiętamy, że nie może być w mianowniku liczby niewymiernej. $cos α={√{21} }/{√{25} }$

    Tutaj nam się na szczęście udało i będzie liczba całkowita w mianowniku:

    $cos α={√{21} }/5$

    Cosinus znaleziony! Pozostał jeszcze Tangens i Cotangens
     
  2. Znajdź Tangens, czyli "krok drugi, wzór drugi":
    Tak jak w tytule wspominam wystarczy skorzystać z drugiego wzoru:

    $ g α={sin α}/{cos α}$

    Mamy znaleziony sinus i cosinus więc podstawmy do wzoru:

    $ g α={ {2/5} }/{ {√{21} }/{5} }$ Wyszedł nam spory piętrowiec, ale nie ma co się przerażać, pamiętamy, że kreska ułamkowa to znak dzielenia, zatem korzystamy z dzielenie ułamków:

    $ g α={2}/{5}:{√{21} }/5$

    I mnożymy przez odwrotność:

    $ g α=2/5×5/{√{21} }$

    piątki się skracają:

    $ g α=2/1×1/{√{21} }$

    $ g α=2/{√{21} }$

    (Nie)szczęśliwie trafiła nam się liczba niewymierna w mianowniku, jak się jej pozbyć? Wystarczy, że pomnożymy przez 1 tylko trochę w innej postaci (czyli po prostu rozszerzymy ułamek):

    $ g α=2/{√{21} }×{√{21} }/{√{21} }$

    Pamiętamy, że:

    ${√{21} }/{√{21} }=1$

    Zatem nasz ułamek to:

    $ g α={2√21}/{21}$

    Tangens został policzony!

    Pozostał nam cotangens i zapewne patrząc po tym co robiliśmy, jesteście niezbyt zadowoleni, że to nie koniec, jednakże cotangens można łatwo policzyć! Przejdźmy do kroku trzeciego.
     
  3. Krok 3: Cotangens z tangensa

    Przypomnijmy dwa wzory:

    $ g α={sinα}/{cosα} $

    $ctg α={cos α}/{sin α} $

    Czym one się różnią? Są na odwrót! Zatem wynik też może być na odwrót, czyli:

    $ g α={2√{21} }/{21}$

    $ctg α={21}/{2√{21} }$

    Oczywiście i tutaj usuwamy niewymierność identycznie jak w poprzednim:

    $ctg α={21}/{2√{21} }×{√{21} }/{√{21} }={21√{21} }/{2×21}={21√{21} }/{42}={√{21} }/2$
Zadanie zakończone.
 
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMYZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NAWIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIEKOMENTARZY
komentarze
... irazy podziękowaliście
Autorom