Matematyka

Autorzy:Jerzy Janowicz

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2013

W prostokącie ABCD przedstawionym na ... 4.25 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

W prostokącie ABCD przedstawionym na ...

5
 Zadanie

1
 Zadanie

Odp. Tak, ponieważ 

`(AO)/(OF)=(BO)/(OE)=2` 

 

Rysunek pomocniczy:

Obliczmy miary kątów w trójkącie EBO oraz AFO.

Zauważmy, że odcinek OC oraz OB mają równą długość, bo stanowią połowę długości przekątnej, więc trójkąt BOC jest trójkątem równoramiennym.

∠CBO ma taką samą miarę ∠OCB.

Obliczmy miary kątów w trójkącie BOC.

`60^"o"+/_CBO+/_OCB=180^"o"` 

`/_CBO+/_OCB=120^"o"` 

Oba kąty mają taką samą miarę, więc:

`/_CBO=/_OCB=60^"o"` 

 

∠OBE oraz ∠CBO mają razem miarę 90°.

`/_OBE+/_CBO=90^"o"` 

`/_OBE+60^"o"=90^"o"` 

`/_OBE=30^"o"` 

W trójkącie EBO znamy już miary dwóch kątów. Obliczmy miarę ∠BOE.

`90^"o"+30^"o"+/_BOE=180^"o"` 

`120^"o"+/_BOE=180^"o"` 

`/_BOE=60^"o"` 

W trójkącie EBO miary kątów wynoszą: 90°, 60° oraz 30°.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Miara ∠FOA jest równa mierze ∠BOC, ponieważ te kąty są kątami wierzchołkowymi.

`/_FOA=60^"o"` 

W trójkącie AFO znamy już miary dwóch kątów. Obliczmy miarę ∠OAF.

`90^"o"+60^"o"+/_OAF=180^"o"` 

`150^"o"+/_OAF=180^"o"` 

`/_OAF=30^"o"`  

W trójkącie AFO miary kątów wynoszą: 90°, 60° oraz 30°.

 

Korzstając z własności trójkąta o kątach 90°, 60° oraz 30°, możemy oznaczyć następująco długości boków.

Oznaczmy boki OB oraz OA przez "2a" (są to połowy długości przekątnych, więc mają równe długości).

Wtedy odcinki FO oraz OE mają długość "a", a AF oraz EB mają długość "a√3".

 

 

Stosunek długości boków:

`|AO|/|OF|=(2a)/a=2` 

`|BO|/|OE|=(2a)/a=2` 

`|AO|/|OF|=|BO|/|OE|=2` 

Trójkąty  EBO oraz AFO są trójkątami prostokątnymi, dlatego wystarczy że stosunek długości dwóch odpowiadajacych sobie boków jest taki sam, aby trójkąty były przystające.

Trzeci bok jest wyznaczony jednoznacznie przez dwa pozostałe boki.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`  

Odpowiedź, że:

... trójkąty są podobne także nie jest poprawna.

TRójkąty EBO oraz FAO są podobne, ale z podobieństwa nie wynika przystawanie trójkątów.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

Odpowiedź, że:

`... \ AO=BO,\ /_AOF=/_EBO,\ /_FAO=/_EBO` 

jest błędna, ponieważ ∠AOF ma 60°, a ∠EBO ma 30° Miary tych kątów nie są równe.

`/_AOF!=/_EBO`