Matematyka

Autorzy:Drążek Anna, Duvnjak Ewa, Kokiernak-Jurkiewicz Ewa

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2016

Z sześcianów o krawędzi długości 1 cm 4.8 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Z sześcianów o krawędzi długości 1 cm

1
 Zadanie

2
 Zadanie

Zajmijmy się najpierw polem powierzchni całkowitej powstających prostopadłościanów. Zauważmy, że: 

  • pierwszy prostopadłościan ma 6 ścian - 2 podstawy+4 ściany boczne
  • drugi prostopadłościan (zbudowany z 2 sześcianów) ma 10 ścian - 2 podstawy+2∙4 ścian bocznych
  • trzeci prostopadłościan (zbudowany z 3 sześcianów) ma 14 ścian - 2 podstawy+3∙4 ścian bocznych

Poprzez analogię, prostopadłościan zbudowany z n sześcianów ma 2+n∙4=2+4n ścian. 

 

Teraz wyznaczymy długość przekątnej. Wiemy, że przekątna prostopadłościanu o wymiarach a x b x c ma długość:

`d=sqrt(a^2+b^2+c^2)` 

 

Zauważmy, że prostopadłościan zbudowany z n sześcianów ma wymiary 1 x 1 x n, więc jego przekątna ma długość:

`d=sqrt(1^2+1^2+n^2)=sqrt(1+1+n^2)=sqrt(2+n^2)` 

 

 

Korzystając z tych zależności możemy łatwo uzupełnić tabelkę: 

`"liczba sześcianów, "` 

`"z których zbudowany jest"` 

`"prostopadłościan"` 

`1`  `2`  `3`  `4` 

`2+4n=26\ \ \ |-2` 

`4n=24\ \ \ |:4` 

`n=6` 

Prostopadłościan jest zbudowany z 6 sześcianów.

`8` 

`sqrt(2+n^2)=sqrt102` 

`2+n^2=102\ \ \ |-2` 

`n^2=100` 

`n=10` 

Prostopadłościan jest zbudowany z 10 sześcianów.

`n\ (n in NN\ i\ n>0)` 

`"pole powierzchni"` 

`"prostopadłościanu (cm"^2)`  

`2+4*1=` 

`=2+4=6` 

`2+4*2=` 

`=2+8=10` 

`2+4*3=` 

`=2+12=14` 

`2+4*4=` 

`=2+16=18` 

`26` 

`2+4*8=` 

`=2+32=34` 

`2+4*10=` 

`=2+40=42` 

`2+4n` 

`"długość przekątnej"` 

`"prostopadłościanu (cm"^2)` 

`sqrt(2+1^2)=` 

`=sqrt(2+1)=sqrt3` 

`sqrt(2+2^2)=` 

`=sqrt(2+4)=sqrt6` 

`sqrt(2+3^2)=` 

`=sqrt(2+9)=sqrt11` 

`sqrt(2+4^2)=` 

`=sqrt(2+16)=sqrt18=` 

`=sqrt9*sqrt2=3sqrt2` 

`sqrt(2+6^2)=` 

`=sqrt(2+36)=sqrt38` 

`sqrt(2+8^2)=` 

`=sqrt(2+64)=sqrt66` 

`sqrt102`  `sqrt(2+n^2)`