Matematyka

Do każdej z podanych potęg 4.83 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Do każdej z podanych potęg

5
 Zadanie
6
 Zadanie

7
 Zadanie

8
 Zadanie

`I.\ 11^2012`

Zapiszmy kilka kolejncyh potęg liczby 11:

`11^1=11`

`11^2=11*11=121`

`11^3=11*11*11=121*11=1331`

 

Zauważmy, że w każdej potędze liczby 11 ostatnią cyfrą jest 1. Jedynka powstaje przez pomnożenie dwóch jedynek. 

Możemy więc dopasować pierwszą odpowiedź:

`I\ \ \ -\ \ \ A`

 

 

`II.\ 3^2011`

Zapiszmy kilka kolejnych potęg liczby 3:

`3^1=3`

`3^2=3*3=9`

`3^3=3*3*3=9*3=27`

`3^4=3*3*3*3=27*3=81`

`3^5=3*3*3*3*3=81*3=243`

 


Ostatnia cyfra zaczęła się powtarzać. Mamy cztery ostatnie cyfry występujące po kolei: 3, 9, 7, 1.

Ostatnią cyfrą potęgi liczby 3 jest:

  • cyfra 3, jeśli wykładnik jest równy 1, 5, 9,... - wykładnik jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1  
  • cyfra 9, jeśli wykładnik jest równy 2, 6, 10,... - wykładnik jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2
  • cyfra 7, jeśli wykładnik jest równy 3, 7, 11,... - wykładnik jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3
  • cyfra 1, jeśli wykładnik jest równy 4, 8, 12,... - wykładnik jest liczbą, która dzieli się przez 4

Obliczmy, jaką resztę przy dzieleniu przez 4 daje wykładnik równy 2011:

`2011:4=502\ r.\ 3`

Możemy więc dopasować kolejną odpowiedź:

`II\ \ \ -\ \ \ E`

 

 

`III.\ 5^2012`

Zapiszmy kilka kolejnych potęg liczby 5: 

`5^1=5`

`5^2=5*5=25`

`5^3=5*5*5=25*5=125`

 

Zauważmy, że w każdej potędze liczby 5 ostatnią cyfrą jest 5. 

 

Możemy więc dopasować następną odpowiedź:

`III\ \ \ -\ \ \ C`

 

 

 

`IV.\ 6^2012`

Zapiszmy kilka kolejnych potęg liczby 6: 

`6^1=6`

`6^2=6*6=36`

`6^3=6*6*6=36*6=216`

 

Zauważmy, że w kolejnych potęgach liczby 6 ostatnią cyfrą jest 6. 

Możemy więc dopasować ostatnią odpowiedź:

`IV\ \ \ -\ \ \ D`

 

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka wokół nas 2
Autorzy: Drążek Anna, Duvnjak Ewa, Kokiernak-Jurkiewicz Ewa
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Jeżeli ułamek zwykły posiada w mianowniku 10, 100, 1000, … to zamieniamy go na ułamek dziesiętny w następujący sposób: między cyframi liczby znajdującej się w liczniku danego ułamka zwykłego stawiamy przecinek tak, aby po przecinku było tyle cyfr, ile zer w mianowniku. Gdyby zabrakło cyfr przy stawianiu przecinka, to należy dopisać brakującą ilość zer.

Przykłady:

  • $$3/{10}= 0,3$$ ← przepisujemy liczbę 3 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${64}/{100}= 0,64$$ ← przepisujemy liczbę 64 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${482}/{1000} = 0,482$$ ← przepisujemy liczbę 482 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były trzy cyfry (bo w mianowniku mamy trzy zera); musimy dopisać 0, ponieważ brakuje nam cyfr przy stawianiu przecinka,

  • $${45}/{10}= 4,5$$ ← przepisujemy liczbę 45 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku była jedna cyfra (bo w mianowniku mamy jedno zero); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer,

  • $${2374}/{100}= 23,74$$ ← przepisujemy liczbę 2374 z licznika i stawiamy przecinek tak, aby po przecinku były dwie cyfry (bo w mianowniku mamy dwa zera); w tym przypadku nie ma potrzeby dopisywania zer.

  Uwaga

Istnieją ułamki zwykłe, które możemy rozszerzyć lub skrócić tak, aby otrzymać w mianowniku 10, 100, 1000,... Jednak nie wszystkie ułamki można zamienić na równe im ułamki dziesiętne, to znaczy tak rozszerzyć lub skrócić, aby otrzymać ułamek o mianowniku 10, 100, 1000 itd.

Przykłady ułamków, które dają się rozszerzyć lub skrócić, tak aby otrzymać ułamek dziesiętny:
$$1/2= {1•5}/{2•5}=5/{10}= 0,5$$
$$3/{20}= {3•5}/{20•5}= {15}/{100}= 0,15$$
$${80}/{400}= {80÷4}/{400÷4}={20}/{100}= 2/{10}= 0,2$$

Nie można natomiast zamienić na ułamek dziesiętny ułamka $$1/3$$. Ułamka tego nie można skrócić ani rozszerzyć tak, aby w mianowniku pojawiła się liczba 10, 100, 1000 itd.

Dzielniki

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.

Inaczej mówiąc, dzielnikiem liczby naturalnej n nazywamy liczbę naturalną m, jeżeli liczba n podzieli się przez m, tzn. gdy istnieje taka liczba naturalna k, że $$n=k•m$$.

Przykład:

10 dzieli się przez 1, 2, 5 i 10, z tego wynika, że dzielnikami liczby 10 są liczby 1, 2, 5 i 10.

Możemy też powiedzieć, że:

  • 1 jest dzielnikiem 10 bo 10=10•1
  • 2 jest dzielnikiem 10 bo 10=5•2
  • 5 jest dzielnikiem 10 bo 10=2•5
  • 10 jest dzielnikiem 10 bo 10=1•10


Jeżeli liczba naturalna m jest dzielnikiem liczby n, to liczba n jest wielokrotnością liczby m.

Przykład:
Liczba 2 jest dzielnikiem liczby 10, czyli liczba 10 jest wielokrotnością liczby 2.
Symboliczny zapis $$m∣n$$ oznacza, że m jest dzielnikiem liczby n (lub n jest wielokrotnością liczby m). Powyższy przykład możemy zapisać jako $$2|10$$ (czytaj: 2 jest dzielnikiem 10).


Dowolna liczba naturalna n, większa od 1 (n>1), która ma tylko dwa dzielniki: 1 oraz samą siebie (czyli liczbę n) nazywamy liczbą pierwszą. Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

  Zapamiętaj

Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą – bo ma tylko jeden dzielnik. Liczba 0 też nie jest liczbą pierwszą – bo ma nieskończenie wiele dzielników.

  Zapamiętaj

Liczbę niebędącą liczbą pierwszą, czyli posiadająca więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną. Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...

  Zapamiętaj

Liczby 1 i 0 nie są liczbami złożonymi.

  Ciekawostka

Liczba doskonała to liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej. Dotychczas znaleziono tylko 46 liczb doskonałych. Przykładem liczby doskonałej jest 6.

Zobacz także
Udostępnij zadanie