Matematyka

Autorzy:Drążek Anna, Duvnjak Ewa, Kokiernak-Jurkiewicz Ewa

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2016

Oblicz sumę długości wszystkich przekątnych prostopadłościanu 4.75 gwiazdek na podstawie 8 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Oblicz sumę długości wszystkich przekątnych prostopadłościanu

6
 Zadanie
7
 Zadanie
8
 Zadanie
9
 Zadanie
10
 Zadanie

11
 Zadanie

12
 Zadanie
1
 Zadanie

Najpierw zauważmy, że prostopadłościan ma 4 jednakowe przekątne (to, że są jednakowe tłumaczyliśmy w zadaniu 7):

Długość przekątnej obliczymy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

W każdym przykładzie musimy najpierw obliczyć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, jaką długość ma odcinek DB, czyli przekątna prostokąta o podanych bokach. 

Potem, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DBH, obliczymy długość jednej przekątnej prostopadłościanu. 

Na koniec uzyskany wynik wystarczy pomnożyć przez 4 - prostopadłościan ma 4 jednakowe przekątne. 

 

`a)` 

Obliczamy, jaką długość ma przekątna podstawy (oznaczmy ją jako x)

`5^2+12^2=x^2` 

`25+144=x^2` 

`x^2=169` 

`x=13\ cm` 

 

 

Przekątna podstawy ma 13 cm, krawędź boczna także ma 13 cm, korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, jaką długość ma przekątna prostopadłościanu (oznaczamy ją jako y). 

`13^2+13^2=y^2` 

`y^2=13^2*2` 

`y=sqrt(13^2*2)=sqrt(13^2)*sqrt2=13sqrt2\ cm` 

 

Obliczamy, jaką długość mają łącznie wszystkie przekątne prostopadłościanu: 

`4*13sqrt2\ cm=52sqrt2\ cm` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`b)` 

Obliczamy, jaką długość ma przekątna podstawy (oznaczmy ją jako x)

`8^2+15^2=x^2` 

`64+225=x^2` 

`x^2=289` 

`x=17\ cm` 

 

Przekątna podstawy ma 17 cm, krawędź boczna także ma 17 cm, korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, jaką długość ma przekątna prostopadłościanu (oznaczamy ją jako y). 

`17^2+17^2=y^2` 

`y^2=17^2*2` 

`y=sqrt(17^2*2)=sqrt(17^2)*sqrt2=17sqrt2\ cm` 

 

Obliczamy, jaką długość mają łącznie wszystkie przekątne prostopadłościanu: 

`4*17sqrt2=68sqrt2\ cm` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

Obliczamy, jaką długość ma przekątna podstawy (oznaczmy ją jako x)

`(6sqrt3)^2+(8sqrt3)^2=x^2` 

`36*3+64*3=x^2` 

`x^2=(36+64)*3` 

`x^2=100*3` 

`x=sqrt(100*3)=sqrt100*sqrt3=10sqrt3\ cm` 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, jaką długość ma przekątna prostopadłościanu (oznaczamy ją jako y). 

`(10sqrt3)^2+(10sqrt3)^2=y^2` 

`100*3+100*3=y^2` 

`y^2=600` 

`y=sqrt600=sqrt100*sqrt6=10sqrt6\ cm` 

 

Obliczamy, jaką długość mają łącznie wszystkie przekątne prostopadłościanu: 

`4*10sqrt6\ cm=40sqrt6\ cm`