Matematyka

Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 1 (Zeszyt ćwiczeń, WSiP)

Narysuj figury a) dowolny prostokąt 4.56 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 3 Klasa
  3. Matematyka

Narysuj figury a) dowolny prostokąt

4
 Zadanie

5
 Zadanie

 

Prostokąt jest trapezem - ma jedną parę boków równoległych, więc jeśli wykażemy, że I i II zachodzi dla dowolnego prostokąta, to automatycznie zachodzi też dla trapezu (nie musimy przeprowadzać osobnego rozumowania)

 

`I.` 

Punkty D, E, F, G to środki boków prostokąta. Możemy więc oznaczyć długości boków: 

`|AE|=|EB|=|DG|=|GC|=x` 

`|AH|=|HD|=|BF|=|FC|=y` 

 

Sprawdźmy, czy stosunek długości wyznaczonych odcinków na ramionach kąta DAB jest stały:

`|AH|/|AE|=y/x` 

`|AD|/|AB|=(y+y)/(x+x)=(2y)/(2x)=y/x` 

Zatem możemy wnioskować, że odcinek HE jest równoległy do przekątnej BD. 

 

Dokładnie w ten sam sposób uzyskujemy, że odcinek FG jest równoległy do przekątnej BD:

`|CG|/|CF|=x/y=(2x)/(2y)=|CD|/|CB|` 

 

 

Odcinek GH jest równoległy do przekątnej AC, ponieważ: 

`|DH|/|DG|=y/x=(2y)/(2x)=|DA|/|DC|` 

 

 

Odcinek FE jest równoległy do przekątnej AC, ponieważ: 

`|BE|/|BF|=x/y=(2x)/(2y)=|BA|/|BC|` 

 

 

 

`II.` 

Wiemy już, że odcinki EH, BD, FG są równoległe oraz że odcinki GH, CA, FE są równoległe. 

Zatem, korzystając z twierdzenia Talesa, możemy zapisać proporcje: 

`|AH|/|HE|=|AD|/|DB|,\ \ \ "czyli"\ \ \ y/|HE|=(2y)/|DB|,\ \ \ "czyli"\ \ \ 1/|HE|=2/|DB|,\ \ \ "czyli"\ \ \ |DB|=2|HE|` 

`|CG|/|GF|=|CD|/|DB|,\ \ \ \ "czyli"\ \ \ x/|GF|=(2x)/(|DB|),\ \ \ "czyli"\ \ \ 1/|GF|=2/|DB|,\ \ \ "czyli"\ \ \ |DB|=2|GF|` 

 

`|DG|/|GH|=|DC|/|CA|,\ \ \ "czyli"\ \ \ x/|GH|=(2x)/|CA|,\ \ \ "czyli"\ \ \ 1/|GH|=2/|CA|,\ \ \ "czyli"\ \ \ |CA|=2|GH|` 

`|BF|/|FE|=|BC|/|CA|,\ \ \ "czyli"\ \ \ y/|FE|=(2y)/|CA|,\ \ \ "czyli"\ \ \ 1/|FE|=2/|CA|,\ \ \ "czyli"\ \ \ |CA|=2|FE|`   

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka 2001. Zeszyt ćwiczeń cz. 1
Autorzy: Praca zbiorowa
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50
  • D = 500

Korzystając z systemu rzymskiego liczbę naturalną przedstawiamy jako ciąg powyższych cyfr uporządkowanych od wartości największej do najmniejszej, a wartość liczby jest równa sumie wartości poszczególnych cyfr.

Przykłady:

  • XV → 10+5=15
  • XXXII → 10+10+10+1+1=32
  • CXXVII → 100+10+10+5+1+1=127
  • MDLVII → 1000+500+50+5+1+1=1557

W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości. W takim jednak przypadku wartość mniejszej cyfry uważamy za ujemną.

Przykłady:

  • IX → -1+10=10-1=9
  • CD → -100+500=500-100=400
  • XLII → -10+50+1+1=50-10+2=42
  • CML → -100+1000+50=1000-100+50=950

Ważne jest, że w systemie rzymskim możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie. Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

Przykład:

  • XXXII → 10+10+10+1+1=32

  Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.). Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I,II,III,IIII,IIIII,... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e. W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy, jednak pod koniec tej epoki coraz częściej używano już cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb. System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Liczby mieszane i ich zamiana na ułamek niewłaściwy
ulamek

Liczba mieszana jest to suma dwóch składników, z których jeden jest liczbą naturalną (składnik całkowity), a drugi ułamkiem zwykłym właściwym (składnik ułamkowy).

$$4 1/9= 4 + 1/9 $$ ← liczbę mieszana zapisujemy bez użycia znaku dodawania +.

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: mianownik składnika ułamkowego mnożymy przez składnik całkowity i do tego iloczynu dodajemy licznik składnika ułamkowego. Mianownik natomiast jest równy mianownikowi składnika ułamkowego.

Przykład:

$$3 1/4= {3•4+1}/4= {13}/4$$
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie