Matematyka

Matematyka wokół nas 1 (Zbiór zadań, WSiP)

Jaka jest ostatnia cyfra liczby, która jest wynikiem działania 4.67 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 1 Klasa
  3. Matematyka

Jaka jest ostatnia cyfra liczby, która jest wynikiem działania

20
 Zadanie
21
 Zadanie
22
 Zadanie
23
 Zadanie

24
 Zadanie

25
 Zadanie
1
 Zadanie
2
 Zadanie

Nie musimy wykonywać dokładnych obliczeń, interesują nas tylko ostatnie liczby. W zadaniu pojawiają się potęgi liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10. 

Zastanówmy się, jakie są ostatnie cyfry potęg tych liczb.

 

`"liczba 1"`

Jedynka podniesiona do dowolnej potęgi jest zawsze równa 1, dlatego ostatnią cyfrą potęgi liczby 1 zawsze będzie 1. 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`"liczba 2"`

Zapiszmy kilka kolejnych potęg dwójki:

`2^1=ul(ul(2))`

`2^2=2*2=ul(ul(4))`

`2^3=2*2*2=4*2=ul(ul(8))`

`2^4=2*2*2*2=8*2=1ul(ul(6))`

`2^5=2*2*2*2*2=16*2=3ul(ul(2))`

`2^6=2*2*2*2*2*2=32*2=6ul(ul(4))`

Ostatnie cyfry pojawiają się w kolejności 2, 4, 8, 6, 2, 4, itd. Zatem:

  • ostatnia cyfra to 2, gdy wykładnik potęgi jest równy 1, 5, 9, 13, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 
  • ostatnia cyfra to 4, gdy wykładnik potęgi jest równy 2, 6, 10, 14, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2
  • ostatnia cyfra to 8, gdy wykładnik potęgi jest równy 3, 7, 11, 15, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3
  • ostatnia cyfra to 6, gdy wykładnik potęgi jest równy 4, 8, 12, 16 itd, czyli gdy wykładnik potęgi jest liczbą podzielną przez 4

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`"liczba 3"`

Zapiszmy kilka kolejnych potęg trójki: 

`3^1=ul(ul(3))`

`3^2=3*3=ul(ul(9))`

 

`3^3=3*3*3=9*3=2ul(ul(7))`

`3^4=3*3*3*3=27*3=8ul(ul(1))`

`3^5=3*3*3*3*3=81*3=24ul(ul(3))`

`3^6=3*3*3*3*3*3=243*3=72ul(ul(9))`

 

Ostatnie cyfry pojawiają się w kolejności 3, 9, 7, 1, 3, 9,  itd. Zatem:

 

  • ostatnia cyfra to 3, gdy wykładnik potęgi jest równy 1, 5, 9, 13, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1
  • ostatnia cyfra to 9, gdy wykładnik potęgi jest równy 2, 6, 10, 14, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2
  • ostatnia cyfra to 7, gdy wykładnik potęgi jest równy 3, 7, 11, 15, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3
  • ostatnia cyfra to 1, gdy wykładnik potęgi jest równy 4, 8, 12, 16 itd, czyli gdy wykładnik potęgi jest liczbą podzielną przez 4

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`"liczba 4"`

Kolejne potęgi czwórki:

`4^1=ul(ul(4))`

`4^2=4*4=1ul(ul(6))`

`4^3=4*4*4=16*4=6ul(ul(4))`

`4^4=4*4*4*4=64*4=25ul(ul(6))`

 

 

 

Tym razem widać, że jeśli wykładnik potęgi jest nieparzysty, to ostatnią cyfrą jest 4, natomiast jeśli wykładnik potęgi jest parzysty, to ostatnią cyfrą jest 6. 

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`"liczba 5"`

Kolejne potęgi piątki: 

`5^1=ul(ul(5))`

`5^2=5*5=2ul(ul(5))`

`5^3=5*5*5=25*5=12ul(ul(5))`

Niezależnie od wykładnika, ostatnią cyfrą dowolnej potęgi liczby 5 jest 5. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`"liczba 6"`

Kolejne potęgi szóstki: 

`6^1=ul(ul(6))`

`6^2=3ul(ul(6))`

`6*3=6*6*6=36*6=21ul(ul(6))`

Niezależenie od wykładnika, ostatnią cyfrą dowolnej potęgi szóstki, jest 6. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

 

`"liczba 8"`

`8^1=ul(ul(8))`

`8^2=8*8=6ul(ul(4))`

`8^3=8*8*8=64*8=51ul(ul(2))`

`8^4=8*8*8*8=256*8=409ul(ul(6))`

`8^5=8*8*8*8*8=4096*8=3276ul(ul(8))`

 

Ostatnie cyfry pojawiają się w kolejności 8, 4, 2, 6, 8, itd. Zatem:

  • ostatnia cyfra to 8, gdy wykładnik potęgi jest równy 1, 5, 9, 13, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1
  • ostatnia cyfra to 4, gdy wykładnik potęgi jest równy 2, 6, 10, 14, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2
  • ostatnia cyfra to 2, gdy wykładnik potęgi jest równy 3, 7, 11, 15, itd, czyli gdy wykładnik potęgi przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3
  • ostatnia cyfra to 6, gdy wykładnik potęgi jest równy 4, 8, 12, 16 itd, czyli gdy wykładnik potęgi jest liczbą podzielną przez 4

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`"liczba 9"`

`9^1=ul(ul(9))`

`9^2=9*9=8ul(ul(1))`

`9^3=9*9*9=81*9=72ul(ul(9))`

 

Tym razem widać, że jeśli wykładnik potęgi jest nieparzysty, to ostatnią cyfrą jest 9, natomiast jeśli wykładnik potęgi jest parzysty, to ostatnią cyfrą jest 1. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`"liczba 10"`

`10^1=1ul(ul(0))`

`10^2=10*10=10ul(ul(0))`

Niezależenie od wykładnika, ostatnią cyfrą dowolnej potęgi dziesiątki, jest 0.  

 

 

 

 

`overline(overline(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))`

 

Przechodzimy do zadania. Po strzałce zapisywać będziemy ostatnie cyfry, odgadnięte zgodnie z powyższymi zasadami. 

 

 

`a)`

`1^20+2^30+3^40+4^50 \ \ \ ->\ \ \ 1+4+1+6=1ul(ul(2))`

Ostatnia cyfra tej liczby to 2. 

 

 

`b)`

`6^47+3^89\ \ \ ->\ \ \ 6+3=ul(ul(9))`

Ostatnia cyfra tej liczby to 9. 

 

`c)`

`5^32-4^12\ \ \ ->\ \ \ 5-6`

Jeśli od cyfry jedności 5 zabierzemy cyfrę jedności 6, to musimy "pożyczyć" od cyfry dziesiątek jedną dziesiątkę (jak w odejmowaniu pisemnym), w wyniku czego otrzymamy odejmowanie 15-6=9, więc ostatnia cyfra tej liczby jst równa 9. 

 

 

`d)`

`8^19+9^60+10^143\ \ \ ->\ \ \ 2+1+0=3`

Ostatnia cyfra tej liczby to 3. 

 

 

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka wokół nas 1
Autorzy: Ewa Duvnjak, Ewa Kokiernak-Jurkiewicz
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
Odejmowanie ułamków dziesiętnych

Odejmowanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym jest bardzo podobne do odejmowania liczb naturalnych:

  1. Ułamki podpisujemy tak, aby przecinek znajdował się pod przecinkiem ( cyfra jedności pod cyfrą jedności, cyfra dziesiątek pod cyfrą dziesiątek, cyfra setek pod cyfrą setek itd.);
  2. W miejsce brakujących cyfr po przecinku można dopisać zera;
  3. Ułamki odejmujemy tak jak liczby naturalne, czyli działania prowadzimy od kolumny prawej do lewej i wykonujemy je tak, jak gdyby nie było przecina;
  4. W uzyskanym wyniku stawiamy przecinek tak, aby znajdował się pod napisanymi już przecinkami.

Przykład:

  • $$ 3,41-1,54=? $$
    odejmowanie-ulamkow

    $$ 3,41-1,54=1,87 $$  

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50
  • D = 500

Korzystając z systemu rzymskiego liczbę naturalną przedstawiamy jako ciąg powyższych cyfr uporządkowanych od wartości największej do najmniejszej, a wartość liczby jest równa sumie wartości poszczególnych cyfr.

Przykłady:

  • XV → 10+5=15
  • XXXII → 10+10+10+1+1=32
  • CXXVII → 100+10+10+5+1+1=127
  • MDLVII → 1000+500+50+5+1+1=1557

W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości. W takim jednak przypadku wartość mniejszej cyfry uważamy za ujemną.

Przykłady:

  • IX → -1+10=10-1=9
  • CD → -100+500=500-100=400
  • XLII → -10+50+1+1=50-10+2=42
  • CML → -100+1000+50=1000-100+50=950

Ważne jest, że w systemie rzymskim możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie. Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

Przykład:

  • XXXII → 10+10+10+1+1=32

  Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.). Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I,II,III,IIII,IIIII,... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e. W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy, jednak pod koniec tej epoki coraz częściej używano już cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb. System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Zobacz także
Udostępnij zadanie