Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Podstawą domku dla lalek jest prostokąt ... 4.53 gwiazdek na podstawie 17 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Podstawą domku dla lalek jest prostokąt ...

1
 Zadanie
2
 Zadanie

3
 Zadanie

4
 Zadanie

a) Wyrażamy objętość domku, jako funkcję zmiennej x.

Rysunek pomocniczy:

Objętośc domku obliczymy sumując objętość prostopadłościanu (dolnej części domku) oraz graniastosłupa, w którego podstawie znajduje się trójkąt równoramienny (górna część domku; zakładamy, że przekrój dachu jest trójkątem równoramiennym).

Podstawą domku jest prostokąt. Jego obwód wynosi 32 dm. Długość jednego z boków to 2x. Oznaczmy drugi bok przez b. Obliczmy długość boku b (od obwodu odejmiemy dwa boki o długości 2x i podzielimy otrzymany wynik na dwa). 

`b=(32-4x)/2=16-2x\ [dm]` 

Dolna część domku jest prostopadłościanem o wymiarach 2x dm, 16-2x dm oraz x dm. Obliczmy objętość dolnej części domku.

`V_d=x*2x*(16-2x)=2x^2(16-2x)=4x^2(8-x)\ [dm^3]`  

Górna część domku to graniastosłup. W podstawie tego graniastosłupa znajduje się trójkąt równoramienny o podstawie równej 2x dm oraz wysokości opuszczonej na tę podstawę o długości 5-x dm (cały domek ma 5 dm wysokości, wysokość części dolnej to x dm). Obliczmy objętość górnej części domku. Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru Vg=Pp∙H.

`V_g=1/2*2x*(5-x)*(16-2x)=x(5-x)(16-2x)=(5x-x^2)(16-2x)=(10x-2x^2)(8-x)\ [dm^3]`  

Objętość całego domku to:

`V=V_d+V_(g) = 4x^2(8-x)+(10x-2x^2)(8-x)=(4x^2+10x-2x^2)(8-x)=`

`=(2x^2+10x)(8-x)=2x(x+5)(8-x)\ [dm^3]` 

Funkcja wyrażająca objętość domku w zależności od zmiennej x to:

`V(x)=2x(x+5)(8-x)` 

Określmy dziedzinę tej funkcji. x - wysokość dolnej części domku musi być większa od 0, z drugiej strony musi być także mniejsza od wysokości całego domku, czyli od 5 dm.

Stąd:

`D_(f): x \in (0,5)` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

b) Chcemy, aby objętość domku wynosiła 240 dm3.

Podstawmy tę objętość do wyznaczonego powyżej wzoru funkcji.

`2x(x+5)(8-x)=240`

`(2x^2+10x)(8-x)-240=0` 

`16x^2-2x^3+80x-10x^2-240=0` 

  `-2x^3+6x^2+80x-240=0\ \ |:(-2)` 

`x^3-3x^2-40x+120=0`   

Szukamy pierwiastków wielomianu w(x):

`w(x)=x^3-3x^2-40x+120` 

Rozłóżmy wielomian na czynniki (grupujemy wyrazy).

`w(x)=x^2(x-3)-40(x-3)=(x^2-40)(x-3)` 

Rozkładamy wielomian korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

`w(x)=(x-sqrt40)(x+sqrt40)(x-3)=(x-2sqrt10)(x+2sqrt10)(x-3)`

Pierwiastkami wielomianu w(x) są liczby: -2√10, 3 oraz 2√10.

Określmy, które pierwiastki należą do dziedziny funkcji V(x).

`D_(f):x\in(0,5)` 

`-2sqrt10 !in (0,5)` 

`3\in (0,5)` 

`2sqrt10 !in (0,5)` 

Jedynym rozwiązaniem należącym do dziedziny funkcji V(x) jest liczba 3.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Sprawdżmy, czy x=3 dm spełnia warunki zadania.

Czy V(3)=240?

`V(3)=2*3(3+5)(8-3)=6*8*5=240\ [dm^3]` 

 

Odp: Objętość domku jest równa 240 dmdla x = 3 dm.