Matematyka

MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony (Podręcznik, Nowa Era)

Dany jest prostopadłościan o krawędziach ... 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Dany jest prostopadłościan o krawędziach ...

1
 Zadanie

2
 Zadanie
3
 Zadanie
4
 Zadanie

Obliczmy objętość prostopadłościanu o krawędziach 5 cm x 6 cm x 8 cm.

`V_p=5*6*8=240\ [cm^3]`

Każdą krwędź zwiększono o "x" cm. Obecne wymiary prostopadłościanu to 5+x cm, 6+x cm oraz 8+x cm.

Objętość po zwiększeniu każdej krawędzi o "x" cm wzrosła o 320 cm3. Stąd objętość zwiększonego prostopadłościanu wynosi:

`V_z=V_p+320`

`V_z=240+320=560\ [cm^3]`

Podstawmy dane (zwiększone krawędzie) oraz objętość zwiększonego prostopadłościanu do wzoru na objętość prostopadłościanu.

`(5+x)(6+x)(8+x)=560`

Chcemy wyznaczyć x. Doprowaźmy równanie do takiej postaci, aby po prawej stronie znajdowało się 0.

`(5+x)(6+x)(8+x)-560=0`

`(30+11x+x^2)(8+x)-560=0`

`240+30x+88x+11x^2+8x^2+x^3-560=0`

`x^3+19x^2+118x-320=0`

Szukamy pierwiastków wielomianu w(x).

`w(x)=x^3+19x^2+118x-320`

Współczynniki są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Nie będziemy wypisywać wszystkich dzielników liczby -320, gdyż jest ich dużo. Postarajmy się znaleźć taki dzielnik, który będzie pierwiastkiem wielomianu w(x).

`w(2)=8+76+236-320=0`

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x). 

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, podzielmy wielomian w(x) przez (x-2).

`x^3+19x^2+118x-320=(x-2)(x^2+21x+160)`

Sprawdźmy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

`Delta=441-640<0`

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Pierwiastkiem wielomianu w(x) jest liczba 2.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

Sprawdźmy, czy otrzymany wynik spełnia warunki zadania.

Po zwiększeniu o 2 długości krawędzi prostopadłościanu, zwiększony prostopadłościan ma wymiary 7cm x 8 cm x 10 cm.

Obliczmy objętość tego prostopadłościanu.

`V_z=7*8*10=560\ [cm^3]`

Sprawdźmy, czy jeżeli odejmiemy 320 cm3, to otrzymamy objętość początkowego prostopadłościanu.

`560\ cm^3-320\ cm^3=240\ cm^3`

Rozwiązanie spełnia warunki zadania.

 

Odp: Każdą krawędź prostopadłościanu zwiększono o 2 cm.

DYSKUSJA
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Prostopadłościan

Prostopadłościan to figura przestrzenna, której kształt przypomina pudełko lub akwarium.

Prostopadłościan

  • Każda ściana prostopadłościanu jest prostokątem.
  • Każdy prostopadłościan ma 6 ścian - 4 ściany boczne i 2 podstawy, 8 wierzchołków i 12 krawędzi.
  • Dwie ściany mające wspólną krawędź nazywamy prostopadłymi.
  • Dwie ściany, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywamy równoległymi.
  • Każda ściana jest prostopadła do czterech ścian oraz równoległa do jednej ściany.

Z każdego wierzchołka wychodzą trzy krawędzie – jedną nazywamy długością, drugą – szerokością, trzecią – wysokością prostopadłościanu i oznaczamy je odpowiednio literami a, b, c. Długości tych krawędzi nazywamy wymiarami prostopadłościanu.

Prostopadłościan - długości

a – długość prostopadłościanu, b – szerokość prostopadłościanu, c - wysokość prostopadłościanu.

Prostopadłościan, którego wszystkie ściany są kwadratami nazywamy sześcianem.Wszystkie krawędzie sześcianu mają jednakową długość.

kwadrat
System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50
  • D = 500

Korzystając z systemu rzymskiego liczbę naturalną przedstawiamy jako ciąg powyższych cyfr uporządkowanych od wartości największej do najmniejszej, a wartość liczby jest równa sumie wartości poszczególnych cyfr.

Przykłady:

  • XV → 10+5=15
  • XXXII → 10+10+10+1+1=32
  • CXXVII → 100+10+10+5+1+1=127
  • MDLVII → 1000+500+50+5+1+1=1557

W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości. W takim jednak przypadku wartość mniejszej cyfry uważamy za ujemną.

Przykłady:

  • IX → -1+10=10-1=9
  • CD → -100+500=500-100=400
  • XLII → -10+50+1+1=50-10+2=42
  • CML → -100+1000+50=1000-100+50=950

Ważne jest, że w systemie rzymskim możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie. Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

Przykład:

  • XXXII → 10+10+10+1+1=32

  Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.). Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I,II,III,IIII,IIIII,... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e. W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy, jednak pod koniec tej epoki coraz częściej używano już cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb. System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Zobacz także
Udostępnij zadanie