Obliczmy objętość prostopadłościanu o krawędziach 5 cm x 6 cm x 8 cm.

$V_p=5\cdot 6\cdot 8=240\left[c{m}^3\right]$

Każdą krwędź zwiększono o "x" cm. Obecne wymiary prostopadłościanu to 5+x cm, 6+x cm oraz 8+x cm.

Objętość po zwiększeniu każdej krawędzi o "x" cm wzrosła o 320 cm³. Stąd objętość zwiększonego prostopadłościanu wynosi:

$V_z=V_p+320$

$V_z=240+320=560\left[c{m}^3\right]$

Podstawmy dane (zwiększone krawędzie) oraz objętość zwiększonego prostopadłościanu do wzoru na objętość prostopadłościanu.

$\left(5+x\right)\left(6+x\right)\left(8+x\right)=560$

Chcemy wyznaczyć x. Doprowaźmy równanie do takiej postaci, aby po prawej stronie znajdowało się 0.

$\left(5+x\right)\left(6+x\right)\left(8+x\right)-560=0$

$\left(30+11x+x^2\right)\left(8+x\right)-560=0$

$240+30x+88x+11x^2+8x^2+x^3-560=0$

$x^3+19x^2+118x-320=0$

Szukamy pierwiastków wielomianu w(x).

$w\left(x\right)=x^3+19x^2+118x-320$

Współczynniki są liczbami całkowitymi, wyraz wolny jest różny od 0, więc skorzystamy z tw. o pierwiastkach całkowitych.

Nie będziemy wypisywać wszystkich dzielników liczby -320, gdyż jest ich dużo. Postarajmy się znaleźć taki dzielnik, który będzie pierwiastkiem wielomianu w(x).

$w\left(2\right)=8+76+236-320=0$

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x). 

Aby wyznaczyć kolejne pierwiastki, podzielmy wielomian w(x) przez (x-2).

$x^3+19x^2+118x-320=\left(x-2\right)\left(x^2+21x+160\right)$

Sprawdźmy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki.

$\Delta =441-640<0$

Trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków.

Pierwiastkiem wielomianu w(x) jest liczba 2.

$\underline{}$

Sprawdźmy, czy otrzymany wynik spełnia warunki zadania.

Po zwiększeniu o 2 długości krawędzi prostopadłościanu, zwiększony prostopadłościan ma wymiary 7cm x 8 cm x 10 cm.

Obliczmy objętość tego prostopadłościanu.

$V_z=7\cdot 8\cdot 10=560\left[c{m}^3\right]$

Sprawdźmy, czy jeżeli odejmiemy 320 cm³, to otrzymamy objętość początkowego prostopadłościanu.

$560c{m}^3-320c{m}^3=240c{m}^3$

Rozwiązanie spełnia warunki zadania.

 

Odp: Każdą krawędź prostopadłościanu zwiększono o 2 cm.