Matematyka

Rozwiąż nierówność. 4.64 gwiazdek na podstawie 11 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż nierówność.

5
 Zadanie

6
 Zadanie

`"a)"\ -x^3+2x^2-x<0`

Rozkładamy wielomian w(x)=-x3+2x2-x na czynniki:

`-x(x^2-2x+1)<0`

`-x(x-1)^2<0`

Pierwiastki wielomianu w(x) to 0 oraz 1.

0 jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmienia znak funkcji), 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym (nie zmienia znaku funkcji).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny.

Szkicujemy wykres wielomianu.

 

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.

`w(x)<0\ \ "dla"\ \ x \in (0,1)\ \cup\ \(1,+oo)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ -x^3+x^2+6x>=0`

Rozkładamy wielomian w(x)=-x3+x2+6x na czynniki:

`w(x)=-x(x^2-x-6)`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego:

`x^2-x-6=0`

`Delta=1+24=25`

`sqrtDelta=5`

`x_1=(1-5)/2=-2`

`x_2=(1+5)/2=3`

Stąd:

`x^2-x-6=(x+2)(x-3)`

Wielomian w(x) możemy zapisać:

`w(x)=-x(x+2)(x-3)`

Pierwiastki wielomianu w(x) to -2, 0 oraz 3.

Każdy z pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmienia znaku funkcji).

Współczynnik przy najwyższej potedze jest ujemny.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne, czyli większe lub równe 0.

`w(x)>=0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo,-2>>\ \cup\ \<<0,3>>`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ x^3-x^2-x+1<=0`

Rozkładamy wielomian w(x)=x3-x2-x+1 na czynniki (grupujemy wyrazy):

`w(x)=x^2(x-1)-(x-1)=(x^2-1)(x-1)`

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i rozpisujemy wielomian w(x):

`w(x)=(x-1)(x+1)(x-1)=(x+1)(x-1)^2`

 

Pierwiastki wielomianu w(x) to -1 oraz 1.

-1 jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmienia znak wielomianu)

1 jest piewiastkiem dwukrotnym (nie zmienia znaku)

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Szkicujemy wykres wielomianu.

 

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie, czyli mniejsze lub równe 0.

`w(x)<=0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo,-1>>\ \cup\ \{1}`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ -x^4+10x^3+11x^2>0`

Rozkładamy wielomian w(x)=-x4+10x3+11xna czynniki:

`w(x)=-x^2(x^2-10x-11)`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego:

`x^2-10x-11=0`

`Delta=100+44=144`

`sqrtDelta=12`

`x_1=(10-12)/2=-1`

`x_2=(10+12)/2=11`

Stąd:

`x^2-10x-11=(x+1)(x-11)`

Wielomian w(x) możemy zapisać:

`w(x)=-x^2(x+1)(x-11)`

Pierwiastki wielomianu w(x) to -1, 0 oraz 11.

Pierwiastek 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym (nie zmienia znaku).

Pierwiastki -1 oraz 11 są pierwiastkami jednokrotnymi (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potedze jest ujemny.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (-1,0)\ \cup\ \(0,11)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"e)"\ 2x^3+x^2-8x-4>0`

Rozkładamy wielomian w(x)=2x3+x2-8x-4 na czynniki (grupujemy wyrazy):

`w(x)=x^2(2x+1)-4(2x+1)=(x^2-4)(2x+1)`

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i rozpisujemy wielomian w(x):

`w(x)=(x^2-4)(2x+1)=2(x-2)(x+2)(x+1/2)`

 

Pierwiastki wielomianu w(x) to -2, -1/2 oraz 2.

Każdy z pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

`w(x)>0\ \ "dla"\ \ x \in (-2,-1/2)\ \cup\ \(2,+oo)`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"f)"\ 3x^3-2x^2-6x+4<=0`

Rozkładamy wielomian w(x)=3x3-2x2-6x+4 na czynniki (grupujemy wyrazy):

`w(x)=x^2(3x-2)-2(3x-2)=(x^2-2)(3x-2)`

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i rozpisujemy wielomian w(x):

`w(x)=(x^2-2)(3x-2)=3(x-sqrt2)(x+sqrt2)(x-2/3)`

 

Pierwiastki wielomianu w(x) to - √2, 2/3 oraz  √2.

Każdy z pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie (mniejsze lub równe 0).

`w(x)<=0\ \ "dla"\ \ x \in (-oo,-sqrt2>>\ \cup\ \<<2/3,sqrt2>>`

 

 

DYSKUSJA
user profile image
Gość

0

2017-09-21
Dzieki za pomoc :)
user profile image
Gość

0

2017-11-14
dzieki
Informacje
MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony
Autorzy: Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dzielenie z resztą

Na początek zapoznajmy się z twierdzeniem o dzieleniu z resztą, które brzmi następująco:
"Dla pary liczb całkowitych a i b (gdzie b ≠ 0) istnieją liczby całkowite q i r, dla których spełnione jest równanie a = qb + r, gdzie 0 ≤ r < │b│. Liczby q i r nazywa się odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia a przez b."

Innymi słowy, dzielenie z resztą to takie dzielenie, w którym iloraz nie jest liczbą całkowitą.

Przykład obliczania reszty z dzielenia:

  1. Podzielmy liczbę 23 przez 3.
  2. Wynikiem dzielenia nie jest liczba całkowita (nie dzieli się równo). Maksymalna liczba trójek, które zmieszczą się w 23 to 7.
  3. $$7 • 3 = 21$$
  4. Różnica między liczbami 23 i 21 wynosi 2, zatem resztą z tego dzielenia jest liczba 2.
  5. Poprawny zapis działania: $$21÷3=7$$ $$r.2$$

Przykłady:

  • $$5÷2=2$$ r. 1
  • $$27÷9=3$$ r. 0
  • $$(-8)÷(-3)=3 r. 1$$
  • $$(-15)÷4=-3$$ .r -3 lub $$(-15)÷4=-4$$ r. 1

  Zapamiętaj

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły

Licznikiem ułamka zwykłego jest liczba naturalna jaką utworzyłyby cyfry ułamka dziesiętnego, gdyby nie było przecinka, mianownikiem jest liczba zbudowana z cyfry 1 i tylu zer, ile cyfr po przecinku zawiera ułamek dziesiętny.

Przykłady:

  • $$0,25 = {25}/{100}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 25 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z dwóch zer, czyli liczba 100, ponieważ dwie cyfry stoją po przecinku,

  • $$4,305={4305}/{1000}$$ ← licznikiem ułamka zwykłego jest liczba 4305 (ponieważ taką liczbę tworzą cyfry ułamka dziesiętnego bez przecinka), mianownikiem ułamka zwykłego jest liczba zbudowana z 1 oraz z trzech zer, czyli liczba 1000, ponieważ trzy cyfry stoją po przecinku.

Zobacz także
Udostępnij zadanie