$\text{a)}-x^3+2x^2-x<0$

Rozkładamy wielomian w(x)=-x³+2x²-x na czynniki:

$-x\left(x^2-2x+1\right)<0$

$-x{\left(x-1\right)}^2<0$

Pierwiastki wielomianu w(x) to 0 oraz 1.

0 jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmienia znak funkcji), 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym (nie zmienia znaku funkcji).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny.

Szkicujemy wykres wielomianu.

 

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.

$w\left(x\right)<0\text{dla}x\in \left(0,1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$

$\underline{\underline{}}$

$\text{b)}-x^3+x^2+6x\ge 0$

Rozkładamy wielomian w(x)=-x³+x²+6x na czynniki:

$w\left(x\right)=-x\left(x^2-x-6\right)$

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego:

$x^2-x-6=0$

$\Delta =1+24=25$

$\sqrt{\Delta }=5$

$x_1=\frac{1-5}{2}=-2$

$x_2=\frac{1+5}{2}=3$

Stąd:

$x^2-x-6=\left(x+2\right)\left(x-3\right)$

Wielomian w(x) możemy zapisać:

$w\left(x\right)=-x\left(x+2\right)\left(x-3\right)$

Pierwiastki wielomianu w(x) to -2, 0 oraz 3.

Każdy z pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmienia znaku funkcji).

Współczynnik przy najwyższej potedze jest ujemny.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne, czyli większe lub równe 0.

$w\left(x\right)\ge 0\text{dla}x\in (-\infty ,-2⟩\cup ⟨0,3⟩$

$\underline{\underline{}}$

$\text{c)}{x}^3-x^2-x+1\le 0$

Rozkładamy wielomian w(x)=x³-x²-x+1 na czynniki (grupujemy wyrazy):

$w\left(x\right)=x^2\left(x-1\right)-\left(x-1\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-1\right)$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i rozpisujemy wielomian w(x):

$w\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)=\left(x+1\right){\left(x-1\right)}^2$

 

Pierwiastki wielomianu w(x) to -1 oraz 1.

-1 jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmienia znak wielomianu)

1 jest piewiastkiem dwukrotnym (nie zmienia znaku)

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Szkicujemy wykres wielomianu.

 

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie, czyli mniejsze lub równe 0.

$w\left(x\right)\le 0\text{dla}x\in (-\infty ,-1⟩\cup \left\{1\right\}$

$\underline{\underline{}}$

$\text{d)}-x^4+10x^3+11x^2>0$

Rozkładamy wielomian w(x)=-x⁴+10x³+11x² na czynniki:

$w\left(x\right)=-x^2\left(x^2-10x-11\right)$

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego:

$x^2-10x-11=0$

$\Delta =100+44=144$

$\sqrt{\Delta }=12$

$x_1=\frac{10-12}{2}=-1$

$x_2=\frac{10+12}{2}=11$

Stąd:

$x^2-10x-11=\left(x+1\right)\left(x-11\right)$

Wielomian w(x) możemy zapisać:

$w\left(x\right)=-x^2\left(x+1\right)\left(x-11\right)$

Pierwiastki wielomianu w(x) to -1, 0 oraz 11.

Pierwiastek 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym (nie zmienia znaku).

Pierwiastki -1 oraz 11 są pierwiastkami jednokrotnymi (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potedze jest ujemny.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

$w\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-1,0\right)\cup \left(0,11\right)$

$\underline{\underline{}}$

$\text{e)}2x^3+x^2-8x-4>0$

Rozkładamy wielomian w(x)=2x³+x²-8x-4 na czynniki (grupujemy wyrazy):

$w\left(x\right)=x^2\left(2x+1\right)-4\left(2x+1\right)=\left(x^2-4\right)\left(2x+1\right)$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i rozpisujemy wielomian w(x):

$w\left(x\right)=\left(x^2-4\right)\left(2x+1\right)=2\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$

 

Pierwiastki wielomianu w(x) to -2, -¹/₂ oraz 2.

Każdy z pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

$w\left(x\right)>0\text{dla}x\in \left(-2,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(2,+\infty \right)$

$\underline{\underline{}}$

$\text{f)}3x^3-2x^2-6x+4\le 0$

Rozkładamy wielomian w(x)=3x³-2x²-6x+4 na czynniki (grupujemy wyrazy):

$w\left(x\right)=x^2\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)=\left(x^2-2\right)\left(3x-2\right)$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i rozpisujemy wielomian w(x):

$w\left(x\right)=\left(x^2-2\right)\left(3x-2\right)=3\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)$

 

Pierwiastki wielomianu w(x) to - √2, ²/₃ oraz  √2.

Każdy z pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym (zmieniają znak wielomianu).

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Szkicujemy wykres wielomianu.

Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie (mniejsze lub równe 0).

$w\left(x\right)\le 0\text{dla}x\in (-\infty ,-\sqrt{2}⟩\cup ⟨\frac{2}{3},\sqrt{2}⟩$