Współczynnik a₅=-1. Szukany wielomian jest wielomianem piątego stopnia.

$\text{a)}w\left(x\right)=-x\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

Uzasadnienie:

Z wykresu możemy odczytać, że wielomian ma 4 pierwiastki. Są to: -3, -2, -1, 0 oraz 1.

Każdy z tych pierwiastków jest pierwiastkiem krotności nieparzystej, ponieważ zmieniają znak wielomianu.

Wielomian, którego szukamy jest wielomianem stopnia piątego, więc każdy z pierwiastków jest pierwiastkiem jednokrotnym.

 

$\text{b)}w\left(x\right)=-\left(x+3\right)\left(x+2\right){\left(x+1\right)}^2\left(x-1\right)$

Uzasadnienie:

Z wykresu możemy odczytać, że wielomian ma 4 pierwiastki. Są to: -3, -2, -1 oraz 1.

-3, -2 oraz 1 są pierwiastkami krotności nieparzystej, ponieważ zmieniają znak wielomianu.

-1 jest pierwistkiem o krotności parzystej, bo nie zmienia znaku.

Szukamy wielomianu piątego stopnia, więc -3, -2 oraz 1 muszą być pierwiastkami jednokrotnymi, a -1 pierwiastkiem dwukrotnym.

 

$\text{c)}w\left(x\right)=-x^2\left(x+4\right){\left(x+2\right)}^2$

Uzasadnienie:

Z wykresu możemy odczytać, że wielomian ma 3 pierwiastki. Są to: -4, -2 oraz 0.

-4 jest pierwiastkiem krotnosci nieparzystej, ponieważ zmienia znak wielomianu.

-2 oraz 0 są pierwiastkami krotności parzystej, ponieważ nie zmieniają one znaku wielomianu.

 

Wielomian, którego szukamy jest wielomianem stopnia piątego, więc -2 oraz 0 muszą być pierwiastkami dwukrotnymi, a -4 musi być pierwiastkiem jednokrotnym.