Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Rozwiąż równanie. 4.67 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

`"a)"\ x^3+3x^2-9x+5=0` 

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 5 to:

`p={-1,\ 1, -5,\ 5}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 1 to:

`q={-1,\ 1}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-5,-1,\ 1,\ 5}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x3+3x2-9x+5.

`w(-1)=(-1)^3+3*(-1)^2-9*(-1)+5=-1+3+9+5=16!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=1^3+3*1^2-9*1+5=1+3-9+5=0`

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x-1)

`(x^3+3x^2-9x+5):(x-1)=x^2+4x-5`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego x2+4x-5

`x^2+4x-5=0`

`Delta =4^2-4*1*(-5)=16+20=36`

`sqrtDelta=sqrt36=6` 

`x_1=(-4-6)/2=-5` 

`x_2=(-4+6)/2=1` 

Pierwiastkami równania kwadratowego są liczby -5 i 1. 

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania są liczby 1 oraz -5.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ x^3-7x-6=0` 

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -6 to:

`p={-1,\ 1, -2,\ 2,-3,\ 3,-6,\ 6}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 1 to:

`q={-1,\ 1}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-6,-3,-2,-1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 6}` 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x3-7x-6.

`w(-1)=(-1)^3-7*(-1)-6=-1+7-6=0` 

-1  jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x+1)

`(x^3-7x-6):(x+1)=x^2-x-6`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego x2-x-6

`x^2-x-6=0`

`Delta =(-1)^2-4*1*(-6)=1+24=25`

`sqrtDelta=sqrt25=5` 

`x_1=(1-5)/2=-2` 

`x_2=(1+5)/2=3` 

Pierwiastkami równania kwadratowego są liczby -2 i 3. 

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania są liczby -2,-1 oraz 3.

 `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ 2x^3+9x^2+10x+3=0` 

Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 3 to:

`p={-1,\ 1,-3,\ 3,}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 2 to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-3,-3/2,-1,-1/2,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 3}` 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=2x3+9x2+10x+3.

`w(-1)=2*(-1)^3+9*(-1)^2+10*(-1)+3=-2+9-10+3=0` 

-1  jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x+1)

`(2x^3+9x^2+10x+3):(x+1)=2x^2+7x+3`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 2x2+7x+3

`2x^2+7x+3=0`

`Delta =(7)^2-4*2*3=49-24=25`

`sqrtDelta=sqrt25=5` 

`x_1=(-7-5)/4=-3` 

`x_2=(-7+5)/4=-1/2` 

Pierwiastkami równania kwadratowego są liczby -3 i -1/2

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania są liczby -3,-1 oraz -1/2.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"d)"\ 2x^3-3x^2-x+4=0`

 Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 4 to:

`p={-1,\ 1, -2,\ 2,-4,\ 4}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 2 to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-4,-2,-1,-1/2,\ 1/2,\ 1,\ 2,\ 4}` 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=2x3-3x2-3x+4.

`w(-1)=2*(-1)^3-3*(-1)^2-3*(-1)+4=-2-3+3+4=2!=0`  

-1  nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=2*1^3-3*1^2-3*1+4=2-3-3+4=0`  

1  jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x-1)

`(2x^3-3x^2-3x+4):(x-1)=2x^2-x-4`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 2x2-x-4

`2x^2-x-4=0`

`Delta =(-1)^2-4*2*(-4)=1+32=33` 

`sqrtDelta=sqrt33` 

`x_1=(1-sqrt33)/4` 

`x_2=(1+sqrt33)/4` 

Pierwiastkami równania kwadratowego są liczby x1 i x2

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania są liczby 1, x1 oraz x2.

 `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"e)"\ 3x^3+11x^2-3x+4=0` 

 Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 4 to:

`p={-1,\ 1, -2,\ 2,-4,\ 4}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 3 to:

`q={-1,\ 1,-3,\ 3}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-4,-2,-4/3,\-1,-2/3,-1/3,\ 1/3,\ 2/3,\ 1,\ 4/3,\ 2,\ 4}` 

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=3x3+11x2-3x+4.

`w(-1)=3*(-1)^3+11*(-1)^2-3*(-1)+4=-3+11+3+4=15!=0`  

-1  nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=3*1^3+11*1^2-3*1+4=3+11-3+4=15!=0`   

1  nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-4)=3*(-4)^3+11*(-4)^2-3*(-4)+4=-192+176+12+4=0`

-4 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x+4)

`(3x^3+11x^2-3x+4):(x+4)=3x^2-x+1`

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 3x2-x+1

`3x^2-x+1=0`

`Delta =(-1)^2-4*3*1=1-12=-11<0` 

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania są liczby -4.

 `ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"f)"\ 5x^2-2x=1-6x^3` 

`\ \ \ 6x^3+5x^2-2x-1=0`   

 Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -1 to:

`p={-1,\ 1}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 6 to:

`q={-1,\ 1,-2,\ 2,-3,\ 3,-6,\ 6}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-1,-1/2,-1/3,-1/6, 1/6,\ 1/3,\ 1/2,\ 1}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=6x3+5x2-2x-1.

`w(-1)=6*(-1)^3+5*(-1)^2-2*(-1)-1=-6+5+2-1=0`

-1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x+1)

`(6x^3+5x^2-2x-1):(x+1)=6x^2-x-1` 

 

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego 6x2-x-1

`6x^2-x-1=0` 

`Delta =(-1)^2-4*6*(-1)=1+24=25`

`sqrtDelta=sqrt25=5` 

`x_1=(1-5)/12=-4/12=-1/3`

`x_2=(1+5)/12=6/12=1/2`

Pierwiastkami równania kwadratowego są liczby -1/3 i 1/2

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania są liczby -1, -1/3 oraz 1/2 .

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"g)"\ x^3-6=4x^2-5x`

`\ \ \ x^3-4x^2+5x-6=0`

 Dzielniki wyrazu wolnego, czyli -6 to:

`p={-1,\ 1,-2,\ 2,-3,\ 3,-6,\ 6}`

Dzielniki wyrazu an, czyli 1 to:

`q={-1,\ 1}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-6,-3,-2,-1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 6}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=x3-4x2+5x-6.

`w(-1)=(-1)^3-4*(-1)^2+5*(-1)-6=-1-4-5-6!=0` 

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=1^3-4*1^2+5*1-6=1-4+5-6!=0` 

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(2)=2^3-4*2^2+5*2-6=8-16+10-6!=0` 

2 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(3)=3^3-4*3^2+5*3-6=27-36+15-6=0` 

3 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

 

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x-3)

`(x^3-4x^2+5x-6):(x-3)=x^2-x+2`

 

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego x2-x+2

`x^2-x+2=0`

`Delta =(-1)^2-4*1*2=1-8=-7<0` 

Równanie kwadratowe nie posiada pierwiastków rzeczywistych. 

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania jest liczba 3.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"h)"\ -3x^3+15x^2-20x+6=0`

 Dzielniki wyrazu wolnego, czyli 6 to:

`p={-1,\ 1,-2,\ 2,-3,\ 3,-6,\ 6}`

Dzielniki wyrazu an, czyli -3 to:

`q={-1,\ 1,-3,\ 3}`

Możliwe pierwiastki tego równania to:

`(p)/(q)={-6,-3,-2,-1,-2/3,-1/3,\ 1/3\ 2/3,\ 1,\ 2,\ 3,\ 6}`

Sprawdzamy, która z liczb jest pierwiastkiem wielomianu w(x)=-3x3+15x2-20x+6.

`w(3)=-3*3^3+15*3^2-20*3+6=-81+135-60+6=0`

3 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

 

Aby obliczyć kolejne pierwiastki dzielimy wielomian w(x) przez (x-3)

`(-3x^3+15x^2-20x+6):(x-3)=-3x^2+6x-2`

 

Szukamy pierwiastków równania kwadratowego -3x2+6x-2:

`-3x^2+6x-2=0`

`Delta =6^2-4*(-3)*(-2)=36-24=12` 

`sqrtDelta=sqrt12=2sqrt3`  

`x_1=(-6-2sqrt3)/-6=1+sqrt3/3` 

`x_2=(-6+2sqrt3)/-6=1-sqrt3/3`

Pierwiastkami równania kwadratowego są liczby x1 i x2

Odp: Rozwiązaniem wyjściowego równania są liczby 3, x1 i x2.

user profile image
semczi 2017-01-22
Dlaczego nie ma pozostałych podpunktów? :(
user profile image
Odrabiamy.pl 2017-01-23
@semczi Cześć, dzięki za zgłoszenie, zadanie zostało zaktualizowane. :)