Matematyka

Autorzy:Wojciech Babiański, Lech Chańko, Joanna Czarnowska, Grzegorz Janocha

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2016

Rozwiąż równanie. 4.8 gwiazdek na podstawie 5 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Rozwiąż równanie.

2
 Zadanie

3
 Zadanie

`"a)"\ x^4-4x^3+8x^2-20x+15=0`

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego, czyli 15.

`-1,\ \ 1,\ -3,\ \ 3,\ -5,\ \ 5,\ -15,\ \ 15`

Sprawdzamy czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w(x), w tym celu obliczmy wartość wielomianu dla tych dzielników.

`w(-1)=(-1)^4-4*(-1)^3+8*(-1)^2-20*(-1)+15=1+4+8+20+15=48!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=1^4-4*1^3+8*1^2-20*1+15=1-4+8-20+15=0`

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Pozostałe pierwiastki możemy wyznaczyć wykonując dzielenie:

`(x^4-4x^3+8x^2-20x+15):(x-1)=x^3-3x^2+5x-15`

Szukamy pierwiastków wielomianu x3-3x2+5x-15.

Możemy rozłożyć ten wielomian na czynniki poprzez grupowanie wyrazów.

`x^3-3x^2+5x-15=x^2(x-3)+5(x-3)=(x^2+5)(x-3)`

Rozwiązaniem powyższego wielomianu jest liczba 3.

 

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby 1 i 3.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"b)"\ x^4+x^3-11x^2-9x+18=0`

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego, czyli 18.

`-1,\ \ 1,\ -2,\ \ 2,\ -3,\ \ 3,\ -6,\ \ 6,\ -9,\ \ 9,\ -18,\ \ 18`

Sprawdzamy czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w(x), w tym celu obliczmy wartość wielomianu dla tych dzielników.

`w(-1)=(-1)*^4+(-1)*^3-11*(-1)^2-9*(-1)+18=1-1-11+9+18=16!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(1)=1*^4+1*^3-11*1^2-9*1+18=1+1-11-9+18=0`

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Pozostałe pierwiastki możemy wyznaczyć wykonując dzielenie:

`(x^4+x^3-11x^2-9x+18):(x-1)=x^3+2x^2-9x-18`

Szukamy pierwiastków wielomianu x3+2x2-9x-18.

Możemy rozłożyć ten wielomian na czynniki poprzez grupowanie wyrazów.

`x^3+2x^2-9x-18=x^2(x+2)-9(x+2)=(x^2-9)(x+2)=(x-3)(x+3)(x+2)`

Rozwiązaniem powyższego wielomianu są liczby 3, -3, -2.

 

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby -3, -2, 1, 3.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"c)"\ 2x^4-8x^3-9x^2-4x-5=0`

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego, czyli -5.

`-1,\ \ 1,\ -5,\ \ 5`

Sprawdzamy czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w(x), w tym celu obliczmy wartość wielomianu dla tych dzielników.

`w(-1)=2*(-1)^4-8*(-1)^3-9*(-1)^2-4*(-1)-5=2+8-9+4-5=0`

-1  jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Pozostałe pierwiastki możemy wyznaczyć wykonując dzielenie:

`(2x^4-8x^3-9x^2-4x-5):(x+1)=x^3+2x^2-9x-18`

Szukamy pierwiastków wielomianu x3+2x2-9x-18.

Możemy rozłożyć ten wielomian na czynniki poprzez grupowanie wyrazów.

`x^3+2x^2-9x-18=x^2(x+2)-9(x+2)=(x^2-9)(x+2)=(x-3)(x+3)(x+2)`

Rozwiązaniem powyższego wielomianu są liczby 3, -3, -2.

 

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby -3, -2, 1, 3.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"d)"\ x^4-x^3-7x^2+13x-6=0`

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego, czyli -6.

`-1,\ \ 1,\ -2,\ \ 2,\ -3,\ \ 3,\ -6,\ \ 6`

Sprawdzamy czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w(x), w tym celu obliczmy wartość wielomianu dla tych dzielników.

`w(-1)=(-1)^4-(-1)^3-7*(-1)^2+13*(-1)-6=1+1-7-13-6=-24!=0`

-1  nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w_1=1^4-1^3-7*1^2+13*1-6=1-1-7+13-6=0`

1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

 

Pozostałe pierwiastki możemy wyznaczyć wykonując dzielenie:

`(x^4-x^3-7x^2+13x-6):(x-1)=x^3-7x+6`

Szukamy pierwiastków wielomianu w1(x)=x3-7x+6.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego:

`-1,\ \ 1,\ -2,\ \ 2,\ -3,\ \ 3,\ -6,\ \ 6`

Sprawdzamy czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w1(x).

`w_1(-1)=(-1)^3-7*(-1)+6=-1+7+6=12!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w1(x)

`w_1(1)=1^3-7*1+6=0`

1 jest pierwiastkiem wielomianu  w1(x)

Pozostałe pierwiastki wielomianu w1(x) możemy wyznaczyć wykonując dzielenie:

`(x^3-7x+6):(x-1)=x^2+x-6`

Szukamy pierwiastków wielomianu x2+x-6.

`x^2+x-6=0`

`Delta=1^2-4*1*(-6)=25`

`sqrtDelta=5`

`x_1=(-1-5)/2=-3`

`x_2=(-1+5)/2=2`

Rozwiązaniem powyższego wielomianu są liczby -3, -2.

 

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby -3, -2, oraz 1.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"e)"\ x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0`

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego, czyli 1.

`-1,\ \ 1`

Sprawdzamy czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w(x), w tym celu obliczmy wartość wielomianu dla tych dzielników.

`w(-1)=(-1)^4-4*(-1)^3+6*(-1)^2-4*(-1)+1=1+4+6+4+1=16!=0`

-1 nie jest pierwaistkiem wielomianu w(x)

  `w(1)=1^4-4*1^3+6*1^2-4*1+1=1-4+6-4+1=0`

1  jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

Pozostałe pierwiastki możemy wyznaczyć wykonując dzielenie:

`(x^4-4x^3+6x^2-4x+1):(x-1)=x^3-3x^2+3x-1`

Szukamy pierwiastków wielomianu w1(x)=x3-3x2+3x-1.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego:

`-1,\ \ 1`

Sprawdzamy czy któryś z dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w1(x).

`w_1(-1)=(-1)^4-4*(-1)^3+6*(-1)^2-4*(-1)+1=-1-3-3-1=-8!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w1(x)

`w_1(1)=1^4-4*1^3+6*1^2-4*1+1=1-3+3-1=0`

1 jest pierwiastkiem wielomianu  w1(x)

Pozostałe pierwiastki wielomianu w1(x) możemy wyznaczyć wykonując dzielenie:

`(x^3-3x^2+3x-1):(x-1)=x^2-2x+1`

Szukamy rozwiązań wielomianu x2-2x+1.

`x^2-2x+1=(x-1)^2`

 

Rozwiązaniem powyższego wielomianu jest liczba 1.

 

Odp: Rozwiązaniem równania jest liczba 1.

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

`"f)"\ x^4+3x^3-5x^2-12x+4=0`

Wypisujemy dzielniki całkowite wyrazu wolnego, czyli 4.

`-1,\ \ 1, \ -2,\ \ 2,\ -4,\ \ 4`

Sprawdzamy czy któryś z tych dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w(x), w tym celu obliczmy wartość wielomianu dla tych dzielników.

`w(-1)=(-1)^4+3*(-1)^3-5*(-1)^2-12*(-1)+4=1-3-5+12+4=9!=0`

-1 nie jest pierwaistkiem wielomianu w(x)

  `w(1)=1^4+3*1^3-5*1^2-12*1+4=1+3-5-12+4=-9!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w(x)

`w(-2)=(-2)^4+3*(-2)^3-5*(-2)^2-12*(-2)+4=16-24-20+24+4=0`

-2 jest pierwaistkiem wielomianu w(x)

Pozostałe pierwiastki możemy wyznaczyć wykonując dzielenie:

`(x^4+3x^3-5x^2-12x+4):(x+2)=x^3+x^2-7x+2`

Szukamy pierwiastków wielomianu w1(x)=x3+x2-7x+2.

Wypiszmy dzielniki wyrazu wolnego:

`-1,\ \ 1,\ -2,\ \ 2`

Sprawdzamy, czy któryś z dzielników jest pierwiastkiem wielomianu w1(x).

`w_1(-1)=(-1)^3+(-1)^2-7*(-1)+2=-1+1+7+2=9!=0`

-1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w1(x)

`w_1(1)=1^3+1^2-7*1+2=1+1-7+2=-3!=0`

1 nie jest pierwiastkiem wielomianu w1(x)

`w_1(-2)=(-2)^3+(-2)^2-7*(-2)+2=-8+4+14+2=12!=0`

-2 nie jest pierwiastkiem wielomianu  w1(x)

`w_1(2)=2^3+2^2-7*2+2=8+4-14+2=0`

2 jest pierwiastkiem wielomianu  w1(x)

Pozostałe pierwiastki wielomianu w1(x) możemy wyznaczyć wykonując dzielenie:

`(x^3+x^2-7x+2):(x-2)=x^2+3x-1`

Szukamy rozwiązań wielomianu x2+3x-1.

`x^2+3x-1=0`

`Delta=3^2-4*1*(-1)=13`

`sqrtDelta=sqrt13`

`x_1=(-3-sqrt13)/2`

`x_2=(-3+sqrtDelta)/2`

Rozwiązaniem powyższego wielomianu są liczby 2, x1 oraz x2.

 

Odp: Rozwiązaniem równania są liczby -2, 2, x1 oraz x2.