$a)$  

$a_n={\left(-1\right)}^n\cdot \frac{n+1}{n}$  

$\text{Ciąg ten nie ma granicy. Istnieje}\epsilon \text{dla, ktoˊrego definicja granicy nie jest spełniona.}$  

$\text{Na przykład}\epsilon =\frac{1}{10}.$  

$\text{Innym sposobem pokazania, z˙e granica nie istnieje jest wyznaczenie granic podciągoˊw naszego ciągu.}$  

$\text{Niech:}$  

$b_n:a_1,a_3,a_5,\dots$  

$c_n:a_2,a_4,a_6,\dots$  

$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }-\frac{n+1}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(-1-\frac{1}{n}\right)=-1$     

$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+1}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{n}\right)=1$  

$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\ne \underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$            

$\text{Granica ciągu}{a}_n\text{nie istnieje.}$  

 

$b)$  

$a_n=\sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)$  

$\text{Niech:}$  

$b_n:a_1,a_5,a_9,\dots$  

$c_n:a_2,a_4,a_6,\dots$   

$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }1=1$      

$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0$    

$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\ne \underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$            

$\text{Granica ciągu}{a}_n\text{nie istnieje.}$  

 

$c)$  

$a_n=\{\begin{array}{ll}2+\frac{1}{2^n}& \text{dla n nieparzystych}\\ 2-\frac{2}{n}& \text{dla n parzystych}\end{array}$   

$\text{Niech:}$  

$b_n:a_1,a_3,a_5,\dots$  

$c_n:a_2,a_4,a_6,\dots$   

$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(2+\frac{1}{2^n}\right)=2$      

$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(2-\frac{2}{n}\right)=2$   

$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$             

$\text{Na rysunku moz˙na zaobserwowacˊ, z˙e wraz ze wzrostem n, wyrazy ciągu zbliz˙ają się ku wartosˊci 2 na osi OY.}$  

$\text{Granica ciągu}{a}_n\text{istnieje i jest roˊwna 2.}$