a)
{a6=−4a10=−641
{a6=a1⋅q5a10=a1⋅q9
{−4=a1⋅q5−641=a1⋅q9
{a1=−q54−641=−q54⋅q9
{a1=−q54−641=−4⋅q4
{a1=−q542561=q4
q=41 ∨ q=−41
Zauwaz˙my, z˙e dla ujemnego q ciąg nie będzie monotoniczny dlatego nie bierzemy go w tym zadaniu pod uwagę.
a1=−(41)54=−4⋅45=−46
an=−46⋅4n−11=−46⋅4−n+1=−4−n+7
b)
{a1⋅a5=1a22=25a32
zatem:
a2=5a3 ∨ a2=−5a3
a3=a2⋅q
czyli:
a2=5⋅a2⋅q ∨ a2=−5⋅a2⋅q
1=5q ∨ 1=−5q
q=51 ∨ q=−51
Zauwaz˙my, z˙e dla ujemnego q ciąg nie będzie monotoniczny dlatego nie bierzemy go w tym zadaniu pod uwagę.
a5=a1⋅q4
a1⋅a1⋅q4=1
a12⋅(51)4=1
a12=(51)41
a12=54
a12=625
a1=25 ∨ a1=−25
an=25⋅(51)n−1=25⋅51−n=53−n ∨ an=−25⋅(51)n−1=−25⋅51−n=−53−n
c)
{a2⋅a4=1a22+a32=5
{a1⋅q⋅a1⋅q3=1(a1⋅q)2+(a1⋅q2)2=5
{a12⋅q4=1(a1⋅q)2(1+q2)=5
{a12=q41q41⋅q2(1+q2)=5
{a12=q41q21(1+q2)=5
{a12=q41q21+1=5
{a12=q41q21=4
{a12=q411=4q2
{a12=q41q2=41
q=21 ∨ q=−21
Iloraz ujemny odrzucamy, bo inaczej ciąg nie byłby monotoniczny.
a12=q41
a1=q21 ∨ a1=−q21
a1=4 ∨ a1=−4
an=4⋅(21)n−1 ∨ an=−4⋅(21)n−1
