$S_n=n\cdot a_1+r\left(1+2+\dots +\left(n-2\right)+\left(n-1\right)\right)=\left(\ast \right)$   

Uporządkujmy wyrazy:

Dla n nieparzystego 

(grupujemy wyrazy w nawiasie kwadratowym dodając pierwszy i ostatni wyraz, drugi i przed ostatni wyraz, trzeci i przed przedostatni, itd.  takich sum jest ^n-1/₂)

$\left(\ast \right)=n\cdot a_1+r\left[\left(1+n-1\right)+\left(2+n-2\right)+\left(3+n-3\right)+\dots +\left(\frac{n-1}{2}+\frac{n-1}{2}+1\right)\right]=$           

$=n{a}_1+r\left[\underset{\frac{n-1}{2}\cdot n}{\underbrace{n+n+n+\dots +n}}\right]=n{a}_1+r\frac{n\left(n-1\right)}{2}$         

 

Dla n parzystego 

(grupujemy wyrazy w nawiasie kwadratowym dodając pierwszy i ostatni wyraz, drugi i przed ostatni wyraz, trzeci i przed przedostatni, itd. oraz trzy środkowe wyrazy takich sum jest n*^n-2/₂)

$\left(\ast \right)=n\cdot a_1+r\left[\left(1+n-1\right)+\left(2+n-2\right)+\left(3+n-3\right)+\dots +\left(\frac{n}{2}-1+\frac{n}{2}+1+\frac{n}{2}\right)\right]=$              

$=n{a}_1+r\left[\underset{\left(n\cdot \frac{n-2}{2}\right)}{\underbrace{n+n+n+\dots +n}}+\frac{n}{2}\right]=n{a}_1+r\left(n\cdot \frac{n-2}{2}+\frac{n}{2}\right)=n{a}_1+r\frac{n\left(n-1\right)}{2}$