$a)$  

$a_n=\cos n\pi$  

 

$a_1=\cos \pi =-1$  

$a_2=\cos 2\pi =1$  

$a_3=\cos 3\pi =-1$   

$a_4=\cos 4\pi =1$   

$a_5=\cos 5\pi =-1$   

$a_6=\cos 6\pi =1$  

 

Wykres tego ciągu:

Zatem ciąg nie jest monotoniczny.

---

$b)$  

$a_n=\sin n\frac{\pi }{2}$  

 

$a_1=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$   

$a_2=\sin \pi =0$  

$a_3=\sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)=-1$   

$a_4=\sin 2\pi =0$  

$a_5=\sin \left(\frac{5}{2}\pi \right)=1$  

$a_6=\sin 3\pi =0$   

 

Wykres tego ciągu:

Zatem ciąg nie jest monotoniczny.

---

$c)$  

$a_n=\cos n\pi +2n$     

 

$a_1=\cos \pi +2=1$  

$a_2=\cos 2\pi +4=5$  

$a_3=\cos 3\pi +6=5$   

$a_4=\cos 4\pi +8=9$   

$a_5=\cos 5\pi +10=9$   

$a_6=\cos 6\pi +12=13$   

 

Wykres tego ciągu:

Zatem ciąg ten jest niemalejący czyli jest monotoniczny.