Rozwiąż równanie.- Zadanie 2: MATeMAtyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a)$

$sin^{2} 4 x = 1$

$sin 4 x = 1 \lor sin 4 x = - 1$

$4 x = \frac{π}{2} + 2 k π \lor 4 x = \frac{3}{2} π + 2 k π, k \in C$

$x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{2} \lor x = \frac{3}{8} π + \frac{k π}{2}, k \in C$

$x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4}, k \in C$

$b)$

$cos^{2} 2 x = \frac{1}{2}$

$cos 2 x = \frac{1}{2} = \frac{2}{2} \lor cos 2 x = - \frac{2}{2}$

$2 x = \frac{π}{4} + 2 k π \lor 2 x = 2 π - \frac{π}{4} + 2 k π \lor 2 x = π - \frac{π}{4} + 2 k π \lor 2 x = \frac{3}{2} π - \frac{π}{4} + 2 k π, k \in C$

$x = \frac{π}{8} + k π \lor x = \frac{7 π}{8} + k π \lor x = \frac{3 π}{8} + k π \lor x = \frac{5 π}{8} π + k π, k \in C$

więc

$x_{1} = \frac{π}{8} + k π, k \in C$

$x_{2} = \frac{3 π}{8} + k π, k \in C$

$x_{3} = \frac{5 π}{8} + k π, k \in C$

$x_{4} = \frac{7 π}{8} + k π, k \in C$

Zauważmy, że

$x_{2} - x_{1} = \frac{3 π}{8} + k π - (\frac{π}{8} + k π) = \frac{2 π}{8} = \frac{π}{4}$

$x_{3} - x_{2} = \frac{5 π}{8} + k π - (\frac{3 π}{8} + k π) = \frac{2 π}{8} = \frac{π}{4}$

$x_{4} - x_{3} = \frac{7 π}{8} + k π - (\frac{5 π}{8} + k π) = \frac{2 π}{8} = \frac{π}{4}$

Zatem można zapisać rozwiązania prościej gdyż powtarzają się co $\frac{π}{4}$

$x = \frac{π}{8} + k \frac{π}{4}, k \in C$

$c)$

$4 sin^{2} (x - \frac{π}{6}) = 3$

$sin^{2} (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{4}$

$sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \lor sin (x - \frac{π}{6}) = - \frac{3}{2}$

Zauważmy, że:

$sin (- x) = - sin (x)$

a więc:

$sin (- (x - \frac{π}{6})) = \frac{3}{2}$

$sin (- x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

zatem:

$sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} \lor sin (- x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}$

$x - \frac{π}{6} = \frac{π}{3} + 2 k π \lor x - \frac{π}{6} = π - \frac{π}{3} + 2 k π \lor - x + \frac{π}{6} = \frac{π}{3} + 2 k π \lor - x + \frac{π}{6} = π - \frac{π}{3} + 2 k π, k \in C$

$x_{1} = \frac{π}{2} + 2 k π \lor x_{2} = \frac{5}{6} π + 2 k π \lor x_{3} = - \frac{1}{6} π + 2 k π \lor x_{4} = - \frac{π}{2} + 2 k π, k \in C$

Zauważmy, że:

$x_{1} - x_{4} = \frac{π}{2} + 2 k π - (- \frac{π}{2} + 2 k π) = π$

$x_{2} - x_{3} = \frac{5}{6} π + 2 k π - (- \frac{π}{6} + 2 k π) = \frac{5}{6} π + 2 k π + \frac{π}{6} - 2 k π = π$

Zatem można zapisać rozwiązania prościej gdyż powtarzają się co $π$

$x = \frac{π}{2} + k π \lor x = \frac{5}{6} π + k π, k \in C$

$d)$

$3 t g^{2} π x = 1$

$t g^{2} π x = \frac{1}{3}$

$t g π x = \frac{1}{3} = \frac{3}{3} \lor t g π x = - \frac{3}{3}$

$D :$

$π x \neq = \frac{π}{2} + k π$

$x \neq = \frac{1}{2} + k$

$π x = \frac{π}{6} + k π \lor π x = - \frac{π}{6} + k π, k \in C$

$x = \frac{1}{6} + k x = - \frac{1}{6} + k, k \in C$

$e)$

$∣ 2 cos 3 x ∣ = 1$

$2 cos 3 x = 1 \lor 2 cos 3 x = - 1$

$cos 3 x = \frac{1}{2} \lor cos 3 x = - \frac{1}{2}$

Zauważmy, że ze wzorów redukcyjnych wiemy, że zachodzi:

$cos (π + 3 x) = - cos 3 x \Rightarrow - cos (π + 3 x) = cos 3 x$

Zatem możemy zapisać:

$cos 3 x = \frac{1}{2} \lor cos (π + 3 x) = \frac{1}{2}$

$3 x = \frac{π}{3} + 2 k π \lor 3 x = 2 π - \frac{π}{3} + 2 k π \lor 3 x + π = \frac{π}{3} + 2 k π \lor 3 x + π = 2 π - \frac{π}{3} + 2 k π, k \in C$

$x_{1} = \frac{π}{9} + \frac{2}{3} k π \lor x_{2} = \frac{5 π}{9} + \frac{2}{3} k π \lor x_{3} = - \frac{2}{9} π + \frac{2}{3} k π \lor x_{4} = \frac{2}{9} π + \frac{2}{3} k π, k \in C$

Zauważmy, że:

$x_{1} - x_{3} = \frac{π}{9} + \frac{2}{3} k π - (- \frac{2}{9} π + \frac{2}{3} k π) = \frac{3 π}{9} = \frac{π}{3}$

$x_{2} - x_{4} = \frac{5 π}{9} + \frac{2}{3} k π - (\frac{2}{9} π + \frac{2}{3} k π) = \frac{3 π}{9} = \frac{π}{3}$

A więc możemy zapisać rozwiązanie prościej:

$x = \frac{π}{9} + k \frac{π}{3} \lor x = - \frac{π}{9} + k \frac{π}{3}, k \in C$

$f)$

$3 t g (x + \frac{π}{6}) = 3$

$3 t g (x + \frac{π}{6}) = 3 \lor 3 t g (x + \frac{π}{6}) = - 3$

$t g (x + \frac{π}{6}) = \frac{3}{3} = 3 \lor t g (x + \frac{π}{6}) = - 3$

Wiemy, że:

$t g (- x) = - t g x$

zatem:

$t g (- (x + \frac{π}{6})) = 3$

$t g (- x - \frac{π}{6}) = 3$

$t g (x + \frac{π}{6}) = 3 \lor t g (- x - \frac{π}{6}) = 3$

$x + \frac{π}{6} = \frac{π}{3} + k π \lor - x - \frac{π}{6} = \frac{π}{3} + k π, k \in C$

$x = \frac{π}{6} + k π \lor - x = \frac{π}{2} + k π, k \in C$

$x = \frac{π}{6} + k π \lor x = - \frac{π}{2} + k π, k \in C$

Krystian

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.