$\text{a)}{135}^{\circ }$  

Zauważmy, że:

${135}^{\circ }={90}^{\circ }+{45}^{\circ }$  

Rysunek pomocniczy:

Rozpatrzmy równoramienny trójkąt prostokątny OP'P, którego kąty ostre mają 45^o.

Zakładamy, że:

$\left|OP\right|=1$  

Wówczas z własności trójkąta o kątach 90^o, 45^o i 45^o mamy:

$\left|OP\right|=\left|PP{}^{\prime }\right|\sqrt{2}$  

$1=\left|PP{}^{\prime }\right|\sqrt{2}$  

$\left|PP{}^{\prime }\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Trójkąt jest równoramienny, więc:

$\left|OP{}^{\prime }\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Zatem punkt P należący do ramienia końcowego kąta 135^o ma współrzędne:

$P\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$   

Stosując definicje funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych mamy:

$r=\sqrt{{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}}=\sqrt{1}=1$  

$x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$y=\frac{\sqrt{2}}{2}$