W zadaniu korzystamy z następujących definicji funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych:

$\sin \alpha =\frac{y}{r}$  

$\cos \alpha =\frac{x}{r}$  

$\text{tg}\alpha =\frac{y}{x}\left(x\ne 0\right)$    

$\text{ctg}\alpha =\frac{x}{y}\left(y\ne 0\right)$  

$\text{gdzie}r=\sqrt{x^2+y^2}$  

 

$\text{a)}P\left(-4,3\right)$  

Rysunek:

$r=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$  

$x=-4$

$y=3$

 

$\sin \alpha =\frac{3}{5}$  

$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$  

$\text{tg}\alpha =-\frac{3}{4}$  

$\text{ctg}\alpha =-\frac{4}{3}$  

$\underline{\underline{}}$  

$\text{b)}P\left(8,-6\right)$   

Rysunek:

$r=\sqrt{8^2+{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$  

$x=8$  

$y=-6$  

 

$\sin \alpha =-\frac{6}{10}=-\frac{3}{5}$   

$\cos \alpha =\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$   

$\text{tg}\alpha =-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$   

$\text{ctg}\alpha =-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$   

 

$\text{c)}P\left(-1,-3\right)$     

Rysunek:

$r=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$  

$x=-1$  

$y=-3$   

 

$\sin \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$    

$\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{1\cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$    

$\text{tg}\alpha =\frac{-3}{-1}=3$    

$\text{ctg}\alpha =\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}$    

 

$\text{d)}P\left(-2,-6\right)$     

Rysunek:

$r=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$  

$x=-2$  

$y=-6$   

 

$\sin \alpha =-\frac{{\sout{6}}^3}{{\sout{2}}^1\cdot \sqrt{10}}=-\frac{3\cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$    

$\cos \alpha =-\frac{{\sout{2}}^1}{{\sout{2}}^1\cdot \sqrt{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{1\cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$       

$\text{tg}\alpha =\frac{-6}{-2}=3$    

$\text{ctg}\alpha =\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$