Przypomnijmy:

Funkcje wymierne są to funkcje postaci:

$f\left(x\right)=\frac{v\left(x\right)}{w\left(x\right)}$  

gdzie w(x) oraz v(x) są wielomianami oraz w≠0 (wielomian w nie jest funkcją stale równą 0).

 

a) Wykres funkcji ma przecinać oś OY w punkcie (0,6) oraz dziedziną funkcji ma być zbiór D=R\{3}.

Aby dziedziną były liczby R oprócz 3 w mianowniku wstawiamy taki wielomian, którego miejscem zerowym (rozwiązaniem) jest 3, np:

$x-3,2x-6,3x-9,\text{itp.}$   

 

Załóżmy, że w mianowniku będzie znajdowało się wyrażenie 2x-6, czyli:

$f\left(x\right)=\frac{w\left(x\right)}{2x-6}$  

Najprościej będzie, jeżeli w miejsce wielomianu w(x) wstawimy jednomian stopnia 0 (czyli pewną stałą). Oznaczmy tę stałą jako a, czyli:

$w\left(x\right)=a$  

oraz

$f\left(x\right)=\frac{a}{2x-6}$  

Z treści zadania wykres funkcji f(x) ma przecinać oś OY w punkcie (0,6). Jeżeli do powyższego wzoru wstawimy współrzędne punktu przecięcia wykresu i osi OX, to obliczymy wartość a, czyli:

$6=\frac{a}{2\cdot 0-6}$  

$6=\frac{a}{-6}$  

Stąd:

$a=-1$  

 

Przykładową funkcją spełniająca oba wymagane warunki jest np:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2x-6}$

$\underline{\underline{}}$   

b) Wykres funkcji ma przecinać oś OY w punkcie (0,6) oraz dziedziną funkcji ma być zbiór D=R\{-2,1}.

Aby dziedziną były liczby R oprócz -2 i 1 w mianowniku wstawiamy taki wielomian, którego miejscami zerowymi (rozwiązaniami) są liczby -2 oraz 1, np:

$\left(x-1\right)\left(x+2\right),2\left(x-1\right)\left(x+2\right),\text{itp.}$   

 

Załóżmy, że w mianowniku będzie znajdowało się wyrażenie 2(x-1)(x+2), czyli:

$f\left(x\right)=\frac{w\left(x\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$   

Najprościej będzie, jeżeli w miejsce wielomianu w(x) wstawimy jednomian stopnia 0 (czyli pewną stałą). Oznaczmy tę stałą jako a, czyli:

$w\left(x\right)=a$  

oraz

$f\left(x\right)=\frac{a}{2\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$   

Z treści zadania wykres funkcji f(x) ma przecinać oś OY w punkcie (0,6). Jeżeli do powyższego wzoru wstawimy współrzędne punktu przecięcia wykresu i osi OX, to obliczymy wartość a, czyli:

$6=\frac{a}{2\left(0-1\right)\left(0+2\right)}$   

$6=\frac{a}{2\cdot \left(-1\right)\cdot 2}$  

$6=\frac{a}{-4}$  

Stąd:

$a=-24$   

 

Przykładową funkcją spełniającą oba wymagane warunki jest np:

$f\left(x\right)=-\frac{24}{2\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$  

$\underline{\underline{}}$   

c) Wykres funkcji ma przecinać oś OY w punkcie (0,6) oraz dziedziną funkcji ma być zbiór D=R\{1,2,3}.

Aby dziedziną były liczby R oprócz 1, 2 i 3 w mianowniku wstawiamy taki wielomian, którego miejscami zerowymi (rozwiązaniami) są liczby 1, 2 oraz 3, np:

$\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right),2\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right),\text{itp.}$    

 

Załóżmy, że w mianowniku będzie znajdowało się wyrażenie 2(x-1)(x-2)(x-3), czyli:

$f\left(x\right)=\frac{w\left(x\right)}{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}$   

Najprościej będzie, jeżeli w miejsce wielomianu w(x) wstawimy jednomian stopnia 0 (czyli pewną stałą). Oznaczmy tę stałą jako a, czyli:

$w\left(x\right)=a$  

oraz

$f\left(x\right)=\frac{a}{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}$    

Z treści zadania wykres funkcji f(x) ma przecinać oś OY w punkcie (0,6). Obliczamy wartość a, czyli:

$6=\frac{a}{2\left(0-1\right)\left(0-2\right)\left(0-3\right)}$    

$6=\frac{a}{2\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-3\right)}$   

$6=\frac{a}{-12}$    

Stąd:

$a=-72$   

 

Przykładową funkcją spełniającą oba wymagane warunki jest np:

$f\left(x\right)=-\frac{72}{2\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}$