$\text{a)}\frac{3}{x-2}\ge 1$  

$\text{Załoz˙enia:}$  

$x-2\ne 0$  

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$  

$\frac{3}{x-2}-1\ge 0$   

$\frac{3-\left(x-2\right)}{x-2}\ge 0$  

$\frac{5-x}{x-2}\ge 0$  

 Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak ich iloczyn, stąd:

$\left(5-x\right)\left(x-2\right)\ge 0$  

 

Szkicujemy wykres funkcji:

$\left(5-x\right)\left(x-2\right)=0$  

Wyznaczamy miejsca zerowe:

$x=5\text{i}x=2$  

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in ⟨2,5⟩$  

Uwzględniamy założenia:

  $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$  

Otrzymujemy rozwiązanie:

$x\in (2,5⟩$   

$\underline{\underline{}}$  

$\text{b)}\frac{2x+7}{x-4}>3$   

$\text{Załoz˙enia:}$  

$x-4\ne 0$  

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{4\right\}$  

 

$\frac{2x+7}{x-4}-3>0$   

$\frac{2x+7-3\left(x-4\right)}{x-4}>0$    

$\frac{-x+19}{x-4}>0$  

 Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak ich iloczyn, stąd:

$\left(-x+19\right)\left(x-4\right)>0$    

 

Szkicujemy wykres funkcji:

$\left(-x+19\right)\left(x-4\right)=0$    

Wyznaczamy miejsca zerowe:

$x=19\text{i}x=4$   

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \left(4,19\right)$  

Uwzględniamy założenia:

  $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{4\right\}$  

Otrzymujemy rozwiązanie:

$x\in \left(4,19\right)$    

$\underline{\underline{}}$  

$\text{c)}\frac{2}{4-x}<3$     

$\text{Załoz˙enia:}$  

$4-x\ne 0$  

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{4\right\}$  

 

$\frac{2}{4-x}-3<0$    

$\frac{2-3\left(4-x\right)}{4-x}<0$     

$\frac{-10+3x}{4-x}<0$   

 Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak ich iloczyn, stąd:

$\left(3x-10\right)\left(4-x\right)<0$      

 

Szkicujemy wykres funkcji:

$\left(3x-10\right)\left(4-x\right)=0$     

Wyznaczamy miejsca zerowe:

$x=3\frac{1}{3}\text{i}x=4$   

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in \left(-\infty ,3\frac{1}{3}\right)\cup \left(4,+\infty \right)$   

Uwzględniamy założenia:

  $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{4\right\}$  

Otrzymujemy rozwiązanie:

$x\in \left(-\infty ,3\frac{1}{3}\right)\cup \left(4,+\infty \right)$    

$\underline{\underline{}}$  

$\text{d)}\frac{4x-7}{x-2}\le 5$      

$\text{Załoz˙enia:}$  

$x-2\ne 0$  

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$  

 

$\frac{4x-7}{x-2}-5\le 0$     

$\frac{4x-7-5\left(x-2\right)}{x-2}\le 0$      

$\frac{3-x}{x-2}\le 0$    

 Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak ich iloczyn, stąd:

$\left(3-x\right)\left(x-2\right)\le 0$       

 

Szkicujemy wykres funkcji:

$\left(3-x\right)\left(x-2\right)=0$      

Wyznaczamy miejsca zerowe:

$x=3\text{i}x=2$    

 

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in (-\infty ,2⟩\cup ⟨3,+\infty )$    

Uwzględniamy założenia:

  $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$  

Otrzymujemy rozwiązanie:

$x\in \left(-\infty ,2\right)\cup ⟨3,+\infty )$    

$\underline{\underline{}}$  

$\text{e)}\frac{1-x}{x}\le -4$       

$\text{Załoz˙enia:}$  

$x\ne 0$  

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$   

 

$\frac{1-x}{x}+4\le 0$      

$\frac{1-x+4x}{x}\le 0$      

$\frac{1+3x}{x}\le 0$  

 Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak ich iloczyn, stąd:

$x\left(1+3x\right)\le 0$       

 

Szkicujemy wykres funkcji:

$x\left(1+3x\right)=0$      

Wyznaczamy miejsca zerowe:

$x=0\text{i}x=-\frac{1}{3}$   

 

  

Odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x\in ⟨-\frac{1}{3,0}⟩$     

Uwzględniamy założenia:

  $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

Otrzymujemy rozwiązanie:

$x\in ⟨-\frac{1}{3,0})$     

$\underline{\underline{}}$  

$\text{f)}\frac{2x-2}{x+1}>2$       

$\text{Załoz˙enia:}$  

$x+1\ne 0$  

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-1\right\}$    

 

$\frac{2x-2}{x+1}-2>0$       

$\frac{2x-2-2\left(x+1\right)}{x+1}>0$       

$\frac{-4}{x+1}>0$    

 Iloraz dwóch liczb ma taki sam znak jak ich iloczyn, stąd:

$-4\left(x+1\right)>0$        

$-4x-4>0$  

$-4x>4$  

$x<-1$  

Zbiór rozwiązań nierówności to:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)$  

Uwzględniamy założenia:

  $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-1\right\}$  

Otrzymujemy rozwiązanie:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)$