$a)$  

$\sin \alpha =\frac{3}{11}$  

$\cos \alpha =\frac{8}{11}$  

 

Wiemy, że:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{3}{11}\right)}^2+{\left(\frac{8}{11}\right)}^2=\frac{9}{121}+\frac{64}{121}\ne 1$  

Nie istnieje trójkąt prostokątny spełniający założenia zadania.     

 

$b)$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2}{5}$    

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{5}{3}$     

 

Wiemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{ctg}\alpha }$  

$\frac{2}{5}\ne \frac{5}{3}$    

Nie istnieje trójkąt prostokątny spełniający założenia zadania.   

 

$c)$  

$\sin \alpha =\frac{12}{13}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{12}{5}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

$\cos \alpha =\frac{5}{12}\sin \alpha =\frac{5}{12}\cdot \frac{12}{13}=\frac{5}{13}$     

 

Wiemy, że:    

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(\frac{12}{13}\right)}^2+{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=\frac{144}{169}+\frac{25}{169}=1$    

Istnieje trójkąt prostokątny taki, że spełnia założenia zadania.