Wyrażenie wymierne to ułamek, który ma w liczniku i w mianowniku wielomiany.

---

$a\text{)}\frac{\sqrt{2}+x}{x^2-2}=\frac{x+\sqrt{2}}{x^2-2}$  

Dane wyrażenie jest wyrażeniem wymiernym, ponieważ w liczniku i w mianowniku ma wielomiany (w liczniku znajduje się wielomian stopnia pierwszego, a w mianowniku - wielomian stopnia drugiego).

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^2-2\ne 0$  

$\left(x+2\right)\left(x-2\right)\ne 0$  

$x+2\ne 0\wedge x-2\ne 0$  

$x\ne -2\wedge x\ne 2$  

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{-2,2\right\}$  

Obliczamy wartość tego wyrażenia dla  $x=-2.$  

$\frac{\sqrt{2}+\left(-2\right)}{{\left(-2\right)}^2-2}=\frac{\sqrt{2}-2}{4-2}=\frac{\sqrt{2}-2}{2}$  

---

$b\text{)}\sqrt{4x^4+4x^2+1}=\sqrt{{\left(2x^2+1\right)}^2}=\left|2x^2+1\right|=2x^2+1=\frac{2x^2+1}{1}$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Iloczyn liczby 2 i liczby nieujemnej jest liczbą nieujemna. Suma liczby nieujemnej i liczby 1 jest liczbą dodatnią. Wyrażenie 2x²+1 jest więc dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej x (dlatego mogliśmy opuścić wartość bezwzględną).

Dane wyrażenie jest wyrażeniem wymiernym, ponieważ w liczniku i w mianowniku ma wielomiany (w liczniku znajduje się wielomian stopnia drugiego, a w mianowniku - wielomian stopnia zerowego).

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). W tym przypadku mianownikiem ułamka jest liczba 1, dlatego dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

$D=\mathbb{R}$  

Obliczamy wartość tego wyrażenia dla  $x=-2.$  

$\sqrt{4\cdot {\left(-2\right)}^4+4\cdot {\left(-2\right)}^2+1}=\sqrt{4\cdot 16+4\cdot 4+1}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9$  

---

$c\text{)}\frac{\sqrt{x^4+6x^2+9}}{x^3+1}=\frac{\sqrt{{\left(x^2+3\right)}^2}}{x^3+1}=\frac{\left|x^2+3\right|}{x^3+1}=\frac{x^2+3}{x^3+1}$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Suma liczby nieujemnej i liczby 3 jest liczbą dodatnią. Wyrażenie x²+3 jest więc dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej x (dlatego mogliśmy opuścić wartość bezwzględną).

Dane wyrażenie jest wyrażeniem wymiernym, ponieważ w liczniku i w mianowniku ma wielomiany (w liczniku znajduje się wielomian stopnia drugiego, a w mianowniku - wielomian stopnia trzeciego).

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x^3+1\ne 0$  

$\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\ne 0$  

$x+1\ne 0\wedge x^2-x+1\ne 0$  

$x\ne -1\wedge x\in \mathbb{R}$  

$D=\mathbb{R}\text{}\left\{-1\right\}$  

Obliczamy wartość tego wyrażenia dla  $x=-2.$  

$\frac{\sqrt{{\left(-2\right)}^4+6\cdot {\left(-2\right)}^2+9}}{{\left(-2\right)}^3+1}=\frac{\sqrt{16+6\cdot 4+9}}{-8+1}=\frac{\sqrt{16+24+9}}{-7}=\frac{\sqrt{49}}{-7}=\frac{7}{-7}=-1$   

---

$d\text{)}\frac{\sqrt{4x^4+12x^2+9}}{\sqrt{x^4+2x^2+1}}=\frac{\sqrt{{\left(2x^2+3\right)}^2}}{\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^2}}=\frac{\left|2x^2+3\right|}{\left|x^2+1\right|}=\frac{2x^2+3}{x^2+1}$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Iloczyn liczby 2 i liczby nieujemnej jest liczbą nieujemna. Suma liczby nieujemnej i liczby 3 jest liczbą dodatnią. Wyrażenie 2x²+3 jest więc dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej x (dlatego mogliśmy opuścić wartość bezwzględną w wyrażeniu znajdującym się w liczniku).

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Suma liczby nieujemnej i liczby 1 jest liczbą dodatnią. Wyrażenie x²+1 jest więc dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej x (dlatego mogliśmy opuścić wartość bezwzględną w wyrażeniu znajdującym się w mianowniku).

Dane wyrażenie jest wyrażeniem wymiernym, ponieważ w liczniku i w mianowniku ma wielomiany (oba wielomianu są stopnia drugiego).

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Wiemy już, że wyrażenie x²+1 jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej x, zatem:

$D=\mathbb{R}$  

Obliczamy wartość tego wyrażenia dla  $x=-2.$  

$\frac{\sqrt{4\cdot {\left(-2\right)}^4+12\cdot {\left(-2\right)}^2+9}}{\sqrt{{\left(-2\right)}^4+2\cdot {\left(-2\right)}^2+1}}=\frac{\sqrt{4\cdot 16+12\cdot 4+9}}{\sqrt{16+2\cdot 4+1}}=\frac{\sqrt{64+48+9}}{\sqrt{16+8+1}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{5}}=\frac{11}{5}$