Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Mamy dane:

$R=4\sqrt{3}$  

$\text{a)}$  Zauważmy, że trójkąt  $ABD$  jest równoboczny. Wiemy, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie

stanowi  $\frac{2}{3}$  wysokości trójkąta.

Mamy więc:

$R=\frac{2}{3}h,$  gdzie  $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Stąd:

$R=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$     

$4\sqrt{3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$4\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\text{/}\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$  

$a=12$  

Odp.  $\left|AB\right|=12.$   

 

$\text{b)}$  Obliczamy pole trójkąta  $\Delta ABD:$  

$P_{\Delta ABD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{12}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}$  

Zauważmy, że odcinek  $H$  podzielił kąt  ${120}^{\circ }$  na pół. Dla trójkąta $\Delta CEB$  mamy zatem:

$\text{tg}{60}^{\circ }=\frac{\frac{1}{2}a}{H}$  

$H=\frac{\frac{1}{2}a}{\text{tg}{60}^{\circ }}$  

$H=\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$  

Obliczamy pole trójkąta  $\Delta ABC:$  

$P_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}aH=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$  

Odp.  $P_{\Delta ABD}=36\sqrt{3},P_{\Delta ABC}=12\sqrt{3}.$