$\text{a)}f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+2$  

Wyznaczamy pochodną funkcji  $f:$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(x^3-3x^2-9x+2\right)}^{{}^{\prime }}=3x^2-6x-9=3\left(x^2-2x-3\right)=3\left(x^2+x-3x-3\right)=$    

$=3[x\left(x+1\right)-3\left(x+1\right)=3\left(x-3\right)\left(x+1\right)$  

W punkcie  $x=-1$  funkcja osiąga maksimum lokalne, a w punkcie  $x=3$  osiąga minimum lokalne.

$M=f_{\max }=f\left(-1\right)=-1-3+9+2=7$   

Zauważmy, że  $3\notin ⟨-1,2⟩,$  więc funkcja  $f$  osiągnie najmniejszą wartość ma prawym końcu przedziału:

$m=f\left(2\right)=8-3\cdot 4-9\cdot 2+2=8-12-18+2=10-30=-20$  

Odp.  $M=7,m=-20.$     

 

$\text{b)}f\left(x\right)=4x^5-5x^4-20$  

Wyznaczamy pochodną funkcji  $f:$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(4x^5-5x^4-20\right)}^{{}^{\prime }}=20x^4-20x^3=20x^3\left(x-1\right)$    

W punkcie  $x=0$  funkcja osiąga maksimum lokalne, a w punkcie  $x=1$  osiąga minimum lokalne.

$f_{\max }=f\left(0\right)=-20$   

$f_{\min }=f\left(1\right)=4-5-20=-21$  

Obliczamy wartość funkcji na prawym końcu przedziału:

$f\left(2\right)=4\cdot 32-5\cdot 16-20=128-80-20=28$  

$f\left(2\right)>f\left(0\right),$   więc  $M=f\left(2\right),m=f\left(1\right)$  

Odp.  $M=28,m=-21.$   

 

$\text{c)}f\left(x\right)=\frac{x^2-3x}{x^2+3}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji  $f:$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{x^2-3x}{x^2+3}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{\left(2x-3\right)\left(x^2+3\right)-2x\left(x^2-3x\right)}{{\left(x^2+3\right)}^2}=$

$=\frac{2x^3+6x-3x^2-9-2x^3+6x^2}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{3x^2+6x-9}{{\left(x^2+3\right)}^2}$  

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$\frac{3x^2+6x-9}{{\left(x^2+3\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x^2+3\right)}^2\ne 0$  

$3x^2+6x-9=0\text{/}:3$  

$x^2+2x-3=0$  

$x^2-x+3x-3=0$  

$x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)=0$  

$\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$  

$x=-3\vee x=1$  

 

W punkcie  $x=-3$  funkcja osiąga maksimum lokalne, a w punkcie  $x=1$  osiąga minimum lokalne.

Zauważmy, że  $-3\notin ⟨0,3⟩.$  Obliczamy minimum:

$f_{\min }=f\left(1\right)=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$  

Obliczamy wartość funkcji na końcach przedziału:

$f\left(0\right)=0$  

$f\left(3\right)=0$  

Zatem:

$m=f\left(1\right)$  

$M=f\left(0\right)=f\left(3\right)$  

Odp.  $M=0,m=-\frac{1}{2}.$

 

$\text{d)}f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+2}{x^2+2x-3}$  

Określamy dziedzinę funkcji  $f:$  

$x^2+2x-3\ne 0$  

$x^2-x+3x-3\ne 0$  

$x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)\ne 0$  

$\left(x+3\right)\left(x-1\right)\ne 0$  

$x\ne -3\wedge x\ne 1$  

$D_f=\mathbf{R}-\left\{-3,1\right\}$  

Punkty wyrzucone z dziedziny funkcji znajdują się poza przedziałem, na którym szukamy

wartości największych i najmniejszych, więc nie będą nam przeszkadzać.

Wyznaczamy pochodną funkcji  $f:$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{x^2+2x+2}{x^2+2x-3}\right)}^{{}^{\prime }}=\frac{\left(2x+2\right)\left(x^2+2x-3\right)-\left(2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)}{{\left(x^2+2x-3\right)}^2}=$

$=\frac{\left(2x+2\right)\left(x^2+2x-3-x^2-2x-2\right)}{{\left(x^2+2x-3\right)}^2}=-\frac{10\left(x+1\right)}{{\left(x^2+2x-3\right)}^2}$    

Szukamy miejsc zerowych pochodnej:

$-\frac{10\left(x+1\right)}{{\left(x^2+2x-3\right)}^2}=0\text{/}\cdot {\left(x^2+2x-3\right)}^2\ne 0$  

$-10\left(x+1\right)=0$  

$x=-1$  

Zatem w punkcie  $x=-1$  funkcja osiąga maksimum lokalne.

$f_{\max }=f\left(-1\right)=\frac{1-2+2}{1-2-3}=-\frac{1}{4}$  

Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału:

$f\left(-2\right)=\frac{4-4+2}{4-4-3}=-\frac{2}{3}$    

$f\left(0\right)=-\frac{2}{3}$  

Zatem:

$m=f\left(-2\right)=f\left(0\right)$  

$M=f\left(-1\right)$  

Odp.  $M=-\frac{1}{4},m=-\frac{2}{3}.$