Funkcja f(x)=...- Zadanie 11: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$f (x) = \frac{x ^{2} - 6 x + 4}{x ^{2} + 6 x + 4}$

$f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} - 6 x + 4 ) ^{'} \cdot ( x ^{2} + 6 x + 4 ) - ( x ^{2} - 6 x + 4 ) \cdot ( x ^{2} + 6 x + 4 ) ^{'}}{( x ^{2} + 6 x + 4 ) ^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{( 2 x - 6 ) ( x ^{2} + 6 x + 4 ) - ( x ^{2} - 6 x + 4 ) \cdot ( 2 x + 6 )}{( x ^{2} + 6 x + 4 ) ^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{( 2 x ^{3} + 12 x ^{2} + 8 x - 6 x ^{2} - 36 x - 24 ) - ( 2 x ^{3} + 6 x ^{2} - 12 x ^{2} - 36 x + 8 x + 24 )}{( x ^{2} + 6 x + 4 ) ^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{( 2 x ^{3} + 6 x ^{2} - 28 x - 24 ) - ( 2 x ^{3} - 6 x ^{2} - 28 x + 24 )}{( x ^{2} + 6 x + 4 ) ^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{2 x ^{3} + 6 x ^{2} - 28 x - 24 - 2 x ^{3} + 6 x ^{2} + 28 x - 24}{( x ^{2} + 6 x + 4 ) ^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{12 x ^{2} - 48}{( x ^{2} + 6 x + 4 ) ^{2}}$

$12 x^{2} - 48 = 0$

$12 x^{2} = 48 ∣ : 12$

$x^{2} = 4$

$x = 2 \lor x = - 2$

Zbadajmy znak pochodnej.

$f^{'} (x) > 0$

$12 x^{2} - 48 > 0 ∣ : 12$

$x^{2} - 4 > 0$

$(x - 2) (x + 2) > 0$

$x \in (- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$

Funkcja jest rosnąca w przedziałach $(- \infty, - 2 ⟩, ⟨ 2, + \infty)$

Wobec tego w punkcie $x = - 2$ mamy maksimum, a w punkcie $x = 2$ minimum.

Odp. A

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.