a)

$f\left(x\right)=\frac{1}{x}+x$  

$D=R\backslash \left\{0\right\}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}+1$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  

$-\frac{1}{x^2}+1<0\mid \cdot x^2$  

$-1+x^2<0$  

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)<0$  

$x\in \left(-1,1\right)$  

Funkcja jest malejąca w przedziałach  $⟨-1,0),(0,1⟩$  

Odp. TAK

---

b)

$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}-x^2$  

$D=R\backslash \left\{0\right\}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-1\cdot \left(x^2\right){}^{\prime }}{x^4}-2x$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-2x}{x^4}-2x$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-2}{x^3}-2x$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  

$\frac{-2}{x^3}-2x<0\mid \cdot x^4$  

$-2x-2x^5<0\mid :\left(-1\right)$  

$2x^5+2x>0$  

$2x\left(x^4+1\right)>0\mid :\left(x^4+1\right)$  

$2x>0\mid :2$  

$x>0$  

Funkcja jest malejąca w przedziale  $⟨0,+\infty )$  

Odp. NIE

---

c)

$f\left(x\right)=x^3-\frac{1}{x^3}$  

$D=R\backslash \left\{0\right\}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2-\frac{-1\cdot \left(x^3\right){}^{\prime }}{x^6}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2+\frac{3x^2}{x^6}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2+\frac{3}{x^4}$  

Zauważmy, że dla każdego  $x$  :

$3x^2+\frac{3}{x^4}\ge 0$  

Wobec tego funkcja f jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.

Odp. NIE 

---

d)

$f\left(x\right)=x^4+\frac{1}{x^4}$  

$D=R\backslash \left\{0\right\}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=4x^3+\frac{-1\cdot \left(x^4\right){}^{\prime }}{x^4}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=4x^3-\frac{4x^3}{x^4}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=4x^3-\frac{4}{x}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  

$4x^3-\frac{4}{x}<0\mid \cdot x^2$  

$4x^5-4x<0$  

$4x\left(x^4-1\right)<0$  

$4x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)<0\mid :\left(x^2+1\right)$  

$4x\left(x^2-1\right)<0$  

$4x\left(x-1\right)\left(x+1\right)<0\mid :4$  

$x\left(x-1\right)\left(x+1\right)<0$  

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(0,1\right)$  

Funkcja jest malejąca w przedziałach  $(-\infty ,-1⟩,(0,1⟩$  

Odp. NIE