$a)b_{n+1}=9^{a_{n+1}}=9^{a_n+r}=9^{a_n-\frac{1}{2}}=9^{a_n}\cdot 9^{-\frac{1}{2}}=9^{a_n}\cdot \frac{1}{3}=b_n\cdot \frac{1}{3}$  

A więc ilorazem ciągu b_n jest:

$q=\frac{1}{3}$  

Iloraz jest mniejszy od 1 i większy od zera a więc ciąg jest monotoniczny i ograniczony. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

 

b) Ze wzoru na sumę wszystkich wyrazów ciągu (b_n).

$S=\frac{b_1}{1-q}$  

$S\cdot \left(1-q\right)=b_1$  

$\frac{9}{2}\cdot \left(1-\frac{1}{3}\right)=b_1$  

$b_1=\frac{9}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{9}{3}=3$  

 

A więc:

$9^{a_1}=3$   

$9^{a_1}=9^{\frac{1}{2}}$  

$a_1=\frac{1}{2}$  

Stąd:

$a_6=a_1+5r=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=-\frac{4}{2}=-2$