Lewa strona równania jest sumą...- Zadanie 9: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a) r = - 3$

$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) r}{2} \cdot n$

Sprawdźmy dla jakiego n suma jest równa -45:

$\frac{2 \cdot 7 - 3 ( n - 1 )}{2} \cdot n = - 45$

$(14 - 3 n + 3) \cdot n = - 90$

$- 3 n^{2} + 17 n + 90 = 0$

$3 n^{2} - 17 n - 90 = 0$

$3 n^{2} - 27 n + 10 n - 90 = 0$

$3 n (n - 9) + 10 (n - 9) = 0$

$(n - 9) (3 n + 10) = 0 ∣ : (3 n + 10)$

$n - 9 = 0$

$n = 9$

A więc:

$x = a_{9} = a_{1} + 8 r = 7 - 24 = - 17$

$b) r = 7$

$S_{n} = \frac{2 \cdot ( - 5 ) + 7 ( n - 1 )}{2} \cdot n = 75$

$(- 10 + 7 n - 7) \cdot n = 150$

$7 n^{2} - 17 n - 150 = 0$

$Δ = (- 17)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 150) = 289 + 4200 = 4489$

$Δ = 4489 = 67$

$n_{1} = \frac{17 - 67}{14} < 0$

$n_{2} = \frac{17 + 67}{14} = 6$

A więc:

$x = a_{6} = a_{1} + 5 r = - 5 + 5 \cdot 7 = - 5 + 35 = 30$

$c) r = 2$

$S_{n} = \frac{2 \cdot ( - 3 ) + 2 ( n - 1 )}{2} \cdot n = 4 x$

$(- 6 + 2 n - 2) \cdot n = 8 x$

$2 n^{2} - 8 n = 8 x$

Zauważmy, że:

$x = a_{1} + (n - 1) r = - 3 + 2 (n - 1) = - 3 + 2 n - 2 = 2 n - 5$

Zatem

$2 n^{2} - 8 n = 8 (2 n - 5)$

$2 n^{2} - 8 n = 16 n - 40$

$2 n^{2} - 24 n + 40 = 0$

$n^{2} - 12 n + 20 = 0$

$n^{2} - 2 n - 10 n + 20 = 0$

$n (n - 2) - 10 (n - 2) = 0$

$(n - 2) (n - 10) = 0$

$n_{1} = 2 \lor n_{2} = 10$

Stąd wynika, że:

$x_{1} = 2 \cdot 2 - 5 \lor x_{2} = 2 \cdot 10 - 5$

$x_{1} = - 1 \lor x_{2} = 15$

$d) r = - \frac{3}{2}$

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4 - \frac{3}{2} ( n - 1 )}{2} \cdot n = 2 x + 3$

$(8 - \frac{3}{2} n + \frac{3}{2}) \cdot n = 4 x + 6$

$(\frac{19}{2} - \frac{3}{2} n) \cdot n = 4 x + 6$

$\frac{19}{2} n - \frac{3}{2} n^{2} = 4 x + 6$

Zauważmy, że:

$x = a_{1} + (n - 1) r = 4 - \frac{3}{2} (n - 1) = 4 - \frac{3}{2} n + \frac{3}{2} = \frac{11}{2} - \frac{3}{2} n$

Zatem

$\frac{19}{2} n - \frac{3}{2} n^{2} = 4 \cdot (\frac{11}{2} - \frac{3}{2} n) + 6$

$\frac{19}{2} n - \frac{3}{2} n^{2} = 22 - 6 n + 6$

$\frac{19}{2} n - \frac{3}{2} n^{2} = 28 - 6 n ∣ \cdot 2$

$19 n - 3 n^{2} = 56 - 12 n$

$3 n^{2} - 31 n + 56 = 0$

$Δ = (- 31)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 961 - 672 = 289$

$Δ = 289 = 17$

$n_{1} = \frac{31 - 17}{6} = \frac{14}{6} \in / N$

$n_{2} = \frac{31 + 17}{6} = \frac{48}{6} = 8$

A więc:

$x = \frac{11}{2} - \frac{3}{2} \cdot 8 = \frac{11}{2} - 3 \cdot 4 = 5, 5 - 12 = - 6, 5$

Ernest Jamka

Nauczyciel matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.