a)

$w\left(x\right)=5\sqrt{5}{x}^5+x^2=x^2\left(5\sqrt{5}{x}^3+1\right)=x^2\left({\left(\sqrt{5}x\right)}^3+1^3\right)\stackrel{a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{=}{x}^2\left(\sqrt{5}x+1\right)\stackrel{\Delta =5-20<0}{\left(5x^2-\sqrt{5}x+1\right)}$

 

 

b)

$w\left(x\right)=x^6-0,125x^3=x^3\left(x^3-0,125\right)=x^3\left(x^3-{\left(0,5\right)}^3\right)\stackrel{a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{=}{x}^3\left(x-0,5\right)\stackrel{\Delta =0.25-1<0}{\left(x^2+0.5x+0.25\right)}$

 

 

c)

zauważmy, że

$7x^3=8x^3-x^3$  

(taki zapis ułatwi nam grupowanie czynników wielomianu)

dostaniemy: 

$w\left(x\right)=x^6+7x^3-8=x^6+8x^3-x^3-8=x^6-x^3+8x^3-8=x^3\left(x^3-1\right)+8\left(x^3-1\right)=$

$=\left(x^3-1\right)\left(x^3+8\right)$   

następnie zauważmy, że 

$x^3-1=x^3-1^3$  

otrzymaliśmy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów, możemy więc rozpisać:

$x^3-1^3=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)$   

Podobnie możemy rozpisać wyrażenie:

$x^3+8=x^3+2^3$

ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów, dostaniemy

$x^3+2^3=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)$   

 

wracając do rozpisywanego wyrażenia, mamy:

$\left(x^3-1\right)\left(x^3+8\right)=\left(x-1\right)\stackrel{\Delta =1-4<0}{\left(x^2+x+1\right)}\left(x+2\right)\stackrel{\Delta =4-16<0}{\left(x^2-2x+4\right)}$

 

d)

zwróćmy uwagę, że:

$-7\sqrt{2}{x}^3=-8\sqrt{2}{x}^3+\sqrt{2}{x}^3$  

(taki zapis ułatwi nam grupowanie czynników)

otrzymamy:

$w\left(x\right)=4x^6-7\sqrt{2}{x}^3-4=4x^6+\sqrt{2}{x}^3-8\sqrt{2}{x}^3-4=4x^6-8\sqrt{2}{x}^3+\sqrt{2}{x}^3-4=$

$=4x^3\left(x^3-2\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}\left(x^3-\frac{4}{\sqrt{2}}\right)=4x^3\left(x^3-2\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}\left(x^3-\frac{{\cancel{4}}^2\sqrt{2}}{{\cancel{2}}_1}\right)=$  

$=4x^3\left(x^3-2\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}\left(x^3-2\sqrt{2}\right)=\left(x^3-2\sqrt{2}\right)\left(4x^3+\sqrt{2}\right)$  

zauważmy, że 

$2\sqrt{2}={\sqrt{2}}^2\cdot 2={\sqrt{2}}^3={\left(\sqrt{2}\right)}^3$

tym samym w pierwszym nawiasie z powyższego iloczynu dostajemy:

   $x^3-{\left(\sqrt{2}\right)}^3$

możemy więc ponownie skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów, dostaniemy:

$x^3-{\left(\sqrt{2}\right)}^3=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x^2+\sqrt{2}x+2\right)$    

rozpiszmy teraz wyrażenie z drugiego nawiasu, otrzymamy:

  $4x^3+\sqrt{2}=\sqrt{2}\left(\frac{4}{\sqrt{2}}{x}^3+1\right)=\sqrt{2}\left(\frac{{\cancel{4}}^2\sqrt{2}}{{\cancel{2}}_1}{x}^3+1\right)=\sqrt{2}\left(2\sqrt{2}{x}^3+1\right)=$

$=\sqrt{2}\left(\sqrt{2^2\cdot 2}{x}^3+1\right)=\sqrt{2}\left({\sqrt{2}}^3{x}^3+1\right)=\sqrt{2}\left({\left(\sqrt{2}\right)}^3{x}^3+1\right)=\sqrt{2}\left({\left(\sqrt{2}x\right)}^3+1^3\right)$  

zauważmy, że możemy skorzystać ze wzoru na sumę sześcianów:

$\sqrt{2}\left(\sqrt{2}x+1\right)\left(2x^2+\sqrt{2}x+1\right)$   

 

 wracając do rozpisywanego wyrażenia, otrzymamy:

$\left(x^3-2\sqrt{2}\right)\left(4x^3+\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\left(x-\sqrt{2}\right)\stackrel{\Delta =2-8<0}{\left(x^2+\sqrt{2}x+2\right)}\left(\sqrt{2}x+1\right)\stackrel{\Delta =2-8<0}{\left(2x^2-\sqrt{2}x+1\right)}=$  

$=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}x+1\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x^2+\sqrt{2}x+2\right)\left(2x^2-\sqrt{2}x+1\right)$